Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um círculo centrado na origem com raio 2. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas polares, porque facilita muito quando estamos lidando com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está pedindo. A função dentro da integral é , que na verdade é a distância do ponto até a origem. Como estamos integrando sobre um círculo centrado na origem, faz sentido usar coordenadas polares onde e .

Passo 3

Nas coordenadas polares, a expressão simplifica para , porque já representa a distância do ponto até a origem. Além disso, o elemento de área vira . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora vamos resolver a integral interna, que é em relação a :

Passo 5

Em seguida, integramos o resultado em relação a :

Resposta

Exercícios relacionados

Calcular
Onde R é a coroa circular do plano definida pelas equações e Resp.:
Use coordenadas polares para calcular a sendo R a região delimitada
Calcular
Onde T é a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.
Represente graficamente o domínio da função dada por