Calcular
I=integral duplaR raizx^2+y^2 d x d y
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.: 16 pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo integral! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um círculo centrado na origem com raio 2. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas polares, porque facilita muito quando estamos lidando com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está pedindo. A função dentro da integral é , que na verdade é a distância do ponto até a origem. Como estamos integrando sobre um círculo centrado na origem, faz sentido usar coordenadas polares onde e .

Passo 3

Nas coordenadas polares, a expressão I = integral0^2pi integral0^2 r cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta simplifica para , porque já representa a distância do ponto até a origem. Além disso, o elemento de área vira . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 :

Passo 5

Em seguida, integramos o resultado em relação a I = integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot [ theta ]0^2pi = 83 cdot 2pi = 16pi3 :

Resposta

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