Calcular
I=integral triplaT^square d V
Onde T é a porção da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1. Resp. : 2 pi3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular o volume da parte da esfera que está dentro do cilindro . Isso envolve usar cálculo integral triplo, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para o volume descrito.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. A esfera tem raio 1 e está centrada na origem. O cilindro é um cilindro circular reto com raio 1, também centrado na origem e se estendendo infinitamente ao longo do eixo .
Como queremos a parte da esfera que está dentro do cilindro, precisamos encontrar os valores de para os quais dentro da esfera.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que temos simetria cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • r^2 + z^2 = 1 implies z = pm raiz1 - r^2
  • O elemento de volume é
Na esfera, substituindo e :

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração:
  • I = integral0^2pi integral0^1 integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (rotacionando ao redor do cilindro).
  • Para cada , varia de a (altura da esfera para aquele raio).
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 dz = 2raiz1 - r^2 :
I = integral0^2pi integral0^1 2rraiz1 - r^2 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a integral0^1 2rraiz1 - r^2 , dr :
integral1^0 -raizu , du = integral0^1 raizu , du = 23 u^3/2 |0^1 = 23
Fazemos a substituição , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 7

Agora, integrando em relação a I = integral0^2pi 23 , dtheta = 23 cdot 2pi = 4pi3 :

Resposta

I = 2 pi3

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