Onde T é a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular o volume da parte da esfera que está dentro do cilindro . Isso envolve usar cálculo integral triplo, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para o volume descrito.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. A esfera tem raio 1 e está centrada na origem. O cilindro é um cilindro circular reto com raio 1, também centrado na origem e se estendendo infinitamente ao longo do eixo .
Como queremos a parte da esfera que está dentro do cilindro, precisamos encontrar os valores de para os quais dentro da esfera.
Passo 3
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que temos simetria cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume é
Na esfera, substituindo e :
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração:
varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
varia de 0 a (rotacionando ao redor do cilindro).
Para cada , varia de a (altura da esfera para aquele raio).
Então, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a :
Fazemos a substituição , então . Quando , ; quando , .