Calcular
Onde T é a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular o volume da parte da esfera que está dentro do cilindro . Isso envolve usar cálculo integral triplo, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para o volume descrito.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. A esfera tem raio 1 e está centrada na origem. O cilindro é um cilindro circular reto com raio 1, também centrado na origem e se estendendo infinitamente ao longo do eixo .
Como queremos a parte da esfera que está dentro do cilindro, precisamos encontrar os valores de para os quais dentro da esfera.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que temos simetria cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume é
Na esfera, substituindo e :

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração:
  • varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (rotacionando ao redor do cilindro).
  • Para cada , varia de a (altura da esfera para aquele raio).
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a :
Fazemos a substituição , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 7

Agora, integrando em relação a :

Resposta

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Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:
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Onde R é a coroa circular do plano definida pelas equações e Resp.:
Represente graficamente o domínio da função dada por
Calcular
Onde T é a região delimitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro .
Resp.: