Use coordenadas polares para calcular a I=integral duplaR^square y d x d y sendo R a região delimitada x^2+y^2-a x=0, a>0

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. A região é delimitada pela equação com . Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação pode ser reescrita para facilitar a identificação da forma da região.

Passo 3

Reescrevendo a equação:
x^2 + y^2 - a x = 0
Podemos completar o quadrado para x^2 - a x + y^2 = 0 :
(x - a2)^2 + y^2 = (a2)^2
Isso representa um círculo com centro em e raio .

Passo 4

Agora, vamos converter essa equação para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r costheta
y = r sintheta
Substituindo na equação do círculo:
(r costheta - a2)^2 + (r sintheta)^2 = (a2)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando:
r^2 cos^2theta - a r costheta + a^24 + r^2 sin^2theta = a^24
r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - a r costheta = 0
Como r^2 - a r costheta = 0 :
r (r - a costheta) = 0
Então, ou . Ignoramos porque representa apenas um ponto.

Passo 6

Agora, determinamos os limites de integração. Em coordenadas polares, varia de a e varia de a para cobrir todo o círculo deslocado para a direita.

Passo 7

Expressamos a integral I = integral-pi2^pi2 integral0^a costheta y , r , dr , dtheta em coordenadas polares:
I = integral-pi2^pi2 integral0^a costheta r sintheta cdot r , dr , dtheta
Sabendo que I = integral-pi2^pi2 sintheta integral0^a costheta r^2 , dr , dtheta , substituímos:

Passo 8

Calculamos a integral interna em relação a integral0^a costheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^a costheta = (a costheta)^33 :
I = a^33 integral-pi2^pi2 sintheta cos^3theta , dtheta
Substituindo de volta:

Passo 9

Observamos que a função I = 0 é ímpar, ou seja, . A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:

Resposta

O valor da integral é zero.

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