Use coordenadas polares para calcular a
sendo R a região delimitada
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. A região
é delimitada pela equação
com
. Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
pode ser reescrita para facilitar a identificação da forma da região.
Passo 3
Reescrevendo a equação:
Podemos completar o quadrado para
:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
.
Passo 4
Agora, vamos converter essa equação para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na equação do círculo:
Passo 5
Expandindo e simplificando:
Como
:
Então,
ou
. Ignoramos
porque representa apenas um ponto.
Passo 6
Agora, determinamos os limites de integração. Em coordenadas polares,
varia de
a
e
varia de
a
para cobrir todo o círculo deslocado para a direita.
Passo 7
Expressamos a integral
em coordenadas polares:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 8
Calculamos a integral interna em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Observamos que a função
é ímpar, ou seja,
. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Resposta
O valor da integral
é zero.