Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que:
f(x, y)=raizx^2+y^2 e R é a região delimitada por x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9 52 pi3

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaR f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y)=raizx^2+y^2 e a região R é delimitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Neste exercício, vamos usar o conceito de coordenadas polares para simplificar a resolução. Precisamos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula da integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y)=raizx^2+y^2. Em coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta, a expressão raizx^2+y^2 simplifica para r. Portanto, f(r, theta) = r.

Passo 3

Agora, vamos identificar a região R em coordenadas polares. As equações x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9 representam círculos com raio 1 e 3, respectivamente. Assim, em coordenadas polares, a região R é definida por 1 <= r <= 3 e 0 <= theta <= 2pi.

Passo 4

A fórmula da integral dupla em coordenadas polares é:
integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral0^2pi integral1^3 f(r, theta) cdot r , dr , dtheta
Substituindo f(r, theta) = r, temos:
integral duplaR raizx^2+y^2 , dx , dy = integral0^2pi integral1^3 r cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^3 r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral1^3 r^2 , dr = [ r^33 ]1^3 = 3^33 - 1^33 = 273 - 13 = 9 - 13 = 263

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral em theta:
integral0^2pi 263 , dtheta = 263 cdot [ theta ]0^2pi = 263 cdot (2pi - 0) = 263 cdot 2pi = 52pi3

Resposta

O valor da integral dupla é 52pi3.

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