Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que:
f(x, y)=6 x^2 y^3-5 y^4 ; R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 3,0 <= y <= 1 212

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde e a região é definida por e . Para isso, usaremos conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a integral dupla integral0^1 integral0^3 (6x^2y^3 - 5y^4) , dx , dy significa que vamos integrar a função em relação a e dentro dos limites da região . Como é um retângulo definido por e , podemos escrever a integral como:

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral 6x^2y^3 , dx = 6y^3 cdot x^33 = 2y^3x^3 em relação a integral -5y^4 , dx = -5y^4x , mantendo constante. A integral em relação a de é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para [2y^3x^3 - 5y^4x]0^3 = (2y^3(3)^3 - 5y^4(3)) - (2y^3(0)^3 - 5y^4(0)) de 0 a 3:
= (2y^3 cdot 27 - 15y^4) - 0 = 54y^3 - 15y^4
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^1 (54y^3 - 15y^4) , dy , de 0 a 1:
54 cdot y^44 = 544y^4 = 272y^4
A integral de -15 cdot y^55 = -3y^5 em relação a é:
E a integral de é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração para [272y^4 - 3y^5]0^1 = (272(1)^4 - 3(1)^5) - 0 = 272 - 3 = 272 - 62 = 212 de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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