Calcular , em que:

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde e a região é definida por e . Para isso, usaremos conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a integral dupla significa que vamos integrar a função em relação a e dentro dos limites da região . Como é um retângulo definido por e , podemos escrever a integral como:

Passo 3

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante. A integral em relação a de é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para de 0 a 3:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a , de 0 a 1:
A integral de em relação a é:
E a integral de é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração para de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Determine volume do sólido delimitado pelo paraboloide e pelos planos e Resp: