Determine volume do sólido delimitado pelo paraboloide e pelos planos e Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide e pelos planos , , e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Os planos , e definem a região na base sobre a qual vamos calcular o volume. Vamos desenhar essa região no plano .

Passo 3

No plano , o plano é o eixo , é uma linha horizontal, e é uma reta diagonal. A região de integração é o triângulo delimitado por esses três: entre e , e vai de até 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar a função que representa a altura do sólido. A altura é dada pelo paraboloide . Então, para cada ponto na região base, a altura até o paraboloide é .

Passo 5

Configurar a integral dupla para calcular o volume. A integral será:

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

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Calcular , em que: