Determine o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z=x^2+3 y^2 e pelos planos x=0, y=1, y=x e z=0 Resp: 56

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide e pelos planos , , e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Os planos , e definem a região na base sobre a qual vamos calcular o volume. Vamos desenhar essa região no plano .

Passo 3

No plano , o plano é o eixo , é uma linha horizontal, e é uma reta diagonal. A região de integração é o triângulo delimitado por esses três: entre e , e vai de até 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar a função que representa a altura do sólido. A altura é dada pelo paraboloide . Então, para cada ponto na região base, a altura até o paraboloide é .

Passo 5

Configurar a integral dupla para calcular o volume. A integral será:
V = integralx=0^1 integraly=x^1 (x^2 + 3y^2) , dy , dx

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a integraly=x^1 (x^2 + 3y^2) , dy = x^2(1 - x) + 3( 1^33 - x^33 ) = x^2(1 - x) + (1 - x^3) :

Passo 7

Simplificando a expressão:
x^2 - x^3 + 1 - x^3 = 1 + x^2 - 2x^3

Passo 8

Agora, integramos em relação a V = integral0^1 (1 + x^2 - 2x^3) , dx = [ x + x^33 - 2x^44 ]0^1 = 1 + 13 - 12 = 56 :

Resposta

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