Determine
volume do sólido delimitado pelo paraboloide
e pelos planos
e
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o volume do sólido que está limitado pelo paraboloide
e pelos planos
,
,
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Os planos
,
e
definem a região na base sobre a qual vamos calcular o volume. Vamos desenhar essa região no plano
.
Passo 3
No plano
, o plano
é o eixo
,
é uma linha horizontal, e
é uma reta diagonal. A região de integração é o triângulo delimitado por esses três: entre
e
, e
vai de
até 1.
Passo 4
Agora, vamos determinar a função que representa a altura do sólido. A altura é dada pelo paraboloide
. Então, para cada ponto na região base, a altura até o paraboloide é
.
Passo 5
Configurar a integral dupla para calcular o volume. A integral será:
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcular
, em que: