integral(3 cosec^2 t-5 sec t tg t) d t

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a integral integral(3 cosec^2 t-5 sec t tg t) d t. Esta questão envolve conhecimentos de cálculo, mais especificamente sobre integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, precisamos conhecer algumas identidades trigonométricas e as formas de integrar funções que envolvem cosec, sec e tg.

Passo 2

A integral pode ser dividida em duas partes, então vamos resolver cada uma delas separadamente. Começamos com a primeira parte: integral 3 cosec^2 t , dt.
Sabemos que a derivada de cotg t (que é o recíproco da tangente) é igual a -cosec^2 t. Isso nos diz que, na hora de integrar, o resultado de integral cosec^2 t , dt será -cotg t. So, temos:
integral 3 cosec^2 t , dt = 3 cdot (-cotg t) = -3 cotg t
Agora, vamos para a segunda parte: integral -5 sec t tg t , dt. A gente sabe que a derivada de sec t é sec t tg t (lembra disso?). Logo, ao integrar, teremos:
integral -5 sec t tg t , dt = -5 integral sec t tg t , dt = -5 sec t

Passo 3

Agora que resolvemos as duas partes da integral, vamos juntar tudo. Lembrando que sempre precisamos adicionar uma constante de integração, que chamamos de C.
Assim, temos:
integral(3 cosec^2 t-5 sec t tg t) d t = -3 cotg t - 5 sec t + C

Resposta

Portanto, a resposta final para a integral é:
-3 cotg t - 5 sec t + C

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