integral raizx(x+1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raizx(x+1) , dx. Essa expressão envolve o cálculo de integrais, onde estamos basicamente tentando encontrar a função cuja derivada nos dá a função integralizada. Para resolver esta integral, vamos usar a propriedade distributiva e depois a regra de potência para integrar. Vamos precisar conhecer como integrar potências de x e, claro, um pouco de paciência!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando a distributiva. A expressão raizx(x+1) pode ser reescrita como:
raizx cdot x + raizx cdot 1 = x^1/2 cdot x + x^1/2 = x^3/2 + x^1/2
Agora a integral fica:
integral (x^3/2 + x^1/2) , dx

Passo 3

Agora vamos integrar cada uma das partes separadas. Usamos a regra da potência para integrar x^n, que diz que
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1.
A primeira parte que temos é x^3/2. Aplicamos a regra da potência:
integral x^3/2 , dx = x^(3/2)+1(3/2)+1 = x^5/25/2 = 25 x^5/2
Agora para a segunda parte, x^1/2:
integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23 x^3/2
Então agora juntamos tudo:
integral (x^3/2 + x^1/2) , dx = 25 x^5/2 + 23 x^3/2 + C

Resposta

Portanto, a integral integral raizx(x+1) , dx é:
25 x^5/2 + 23 x^3/2 + C

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