Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
definida de forma diferente em dois intervalos: é zero para
e
para
. O que precisamos fazer é encontrar a transformada de Laplace dessa função usando a definição da transformada. Para isso, vamos precisar entender a definição de transformada de Laplace e como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
onde
é uma variável complexa. Essa integral transforma a função
do domínio do tempo para o domínio da frequência.
Passo 3
Nossa função
é definida por partes, então vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde a função se comporta de maneiras diferentes. Assim, temos:
A primeira integral será zero porque estamos multiplicando por zero.
Passo 4
Focando na segunda integral, precisamos calcular:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula padrão da transformada de Laplace para
, que é:
Mas, como nossa função começa em
, precisamos ajustar isso.
Passo 5
Para lidar com a mudança de intervalo, podemos usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. A propriedade diz que:
onde
é a função degrau de Heaviside que ativa a função
a partir de
.
Passo 6
Aplicando essa propriedade à nossa função, temos:
Aqui,
porque
pode ser visto como
.
Passo 7
Portanto, juntando tudo, a transformada de Laplace de
é:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: