Seja L{f(t)} = F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
f(t) = { 0, 0 <= t < pi/2; cos(t), t >= pi/2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida de forma diferente em dois intervalos: é zero para e para . O que precisamos fazer é encontrar a transformada de Laplace dessa função usando a definição da transformada. Para isso, vamos precisar entender a definição de transformada de Laplace e como aplicá-la a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
onde é uma variável complexa. Essa integral transforma a função do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Passo 3

Nossa função é definida por partes, então vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde a função se comporta de maneiras diferentes. Assim, temos:
A primeira integral será zero porque estamos multiplicando por zero.

Passo 4

Focando na segunda integral, precisamos calcular:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula padrão da transformada de Laplace para , que é:
Mas, como nossa função começa em , precisamos ajustar isso.

Passo 5

Para lidar com a mudança de intervalo, podemos usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. A propriedade diz que:
onde é a função degrau de Heaviside que ativa a função a partir de .

Passo 6

Aplicando essa propriedade à nossa função, temos:
Aqui, porque pode ser visto como .

Passo 7

Portanto, juntando tudo, a transformada de Laplace de é:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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