Calcular integral duplaR raizx sen(raizx y) d x d y, onde R & a rogião delimitada por y=0, x=pi2 e y=raizx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR raizx sen(raizx y) , dx , dy, onde a região R está delimitada por y=0, x=pi2 e y=raizx. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla sobre uma região delimitada. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as técnicas de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R onde vamos integrar. Temos três curvas que delimitam essa região:
  1. y = 0 (o eixo x).
  2. x = pi2 (uma linha vertical).
  3. y = raizx (uma parábola).
Vamos fazer um esboço rápido para entender melhor:
  • A curva y = raizx começa em (0,0) e cresce para a direita.
  • A linha x = pi2 corta o eixo y em y = raizpi2.
  • A região R está abaixo da parábola y = raizx, acima do eixo x e à esquerda da linha x = pi2.

Passo 3

Agora, precisamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que simplifica os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.
Para integrar em relação a y:
  • Para um valor fixo de x, y varia de 0 a raizx.
Para a variável x:
  • x varia de 0 a pi2.
Então, a integral se torna:
integralx=0^pi2 integraly=0^raizx raizx , sen(raizx , y) , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^raizx raizx , sen(raizx , y) , dy
Aqui, raizx é uma constante em relação a y, então podemos integrá-la juntamente com a função seno. A integral de sen(a y) em relação a y é:
integral sen(a y) , dy = -1a cos(a y) + C
Onde a = raizx.
Aplicando essa fórmula:
integral0^raizx raizx , sen(raizx , y) , dy = raizx ( -1raizx cos(raizx , y) ) |0^raizx

Passo 5

Simplificando a expressão:
raizx ( -1raizx cos(raizx cdot raizx) + 1raizx cos(0) ) = -cos(x) + cos(0)
Sabemos que cos(0) = 1, então:
-cos(x) + 1 = 1 - cos(x)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 (1 - cos(x)) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral0^pi2 1 , dx - integral0^pi2 cos(x) , dx
A primeira integral é fácil:
integral 1 , dx = x |0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
A segunda integral:
integral cos(x) , dx = sen(x) |0^pi2 = sen(pi2) - sen(0) = 1 - 0 = 1

Passo 7

Finalmente, juntando os resultados:
pi2 - 1

Resposta

integral duplaR raizx sen(raizx y) , dx , dy = pi2 - 1

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