Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está delimitada por , e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla sobre uma região delimitada. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as técnicas de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos três curvas que delimitam essa região:
(o eixo ).
(uma linha vertical).
(uma parábola).
Vamos fazer um esboço rápido para entender melhor:
A curva começa em e cresce para a direita.
A linha corta o eixo em .
A região está abaixo da parábola , acima do eixo e à esquerda da linha .
Passo 3
Agora, precisamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que simplifica os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para integrar em relação a :
Para um valor fixo de , varia de a .
Para a variável :
varia de a .
Então, a integral se torna:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos integrá-la juntamente com a função seno. A integral de em relação a é:
Onde .
Aplicando essa fórmula:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: