Calcular , onde & a rogião delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está delimitada por , e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla sobre uma região delimitada. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as técnicas de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos três curvas que delimitam essa região:
  1. (o eixo ).
  2. (uma linha vertical).
  3. (uma parábola).
Vamos fazer um esboço rápido para entender melhor:
  • A curva começa em e cresce para a direita.
  • A linha corta o eixo em .
  • A região está abaixo da parábola , acima do eixo e à esquerda da linha .

Passo 3

Agora, precisamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Geralmente, escolhemos a ordem de integração que simplifica os cálculos. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para integrar em relação a :
  • Para um valor fixo de , varia de a .
Para a variável :
  • varia de a .
Então, a integral se torna:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos integrá-la juntamente com a função seno. A integral de em relação a é:
Onde .
Aplicando essa fórmula:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é fácil:
A segunda integral:

Passo 7

Finalmente, juntando os resultados:

Resposta

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© O gráfico de da origem ao ponto .
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© e .