Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3 dada pela interseção das seguintes superfícies:
© 4 x^2 + 9 y^2 = 36 e x + z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a curva que é a interseção das superfícies e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é a equação de uma elipse no plano . Para facilitar, podemos dividir tudo por 36 e reescrever como:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 3 na direção e 2 na direção .

Passo 3

Sabendo que é uma elipse, podemos parametrizar e em termos de um parâmetro , que geralmente varia de a . A parametrização padrão para uma elipse é:
Aqui, é o parâmetro que percorre a elipse.

Passo 4

Agora, vamos considerar a outra equação . Podemos resolver para :
Substituindo a parametrização de que encontramos:

Resposta

A parametrização diferenciável para a curva é dada por:
onde varia de a .

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