Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico de uma curva que está descrita por uma equação vetorial, ou seja, com dois componentes que dependem de um parâmetro
. A equação dada é
para
entre
e
. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas e gráficos paramétricos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação representa. A função
é a secante de
, o que é igual a
. Já a função
é a tangente de
, igual a
. Portanto, nossa curva está definida por:
Passo 3
Agora, vamos eliminar o parâmetro
para encontrar a relação entre
e
. Sabemos que
(uma identidade trigonométrica). Substituindo as expressões de
e
, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole com centro na origem e abertos ao longo do eixo
.
Passo 4
Vamos pensar no intervalo de
, que é
. Nesses valores,
é sempre positivo, então
também será positivo. Isso significa que estamos olhando apenas para o ramo da hipérbole onde
.
Passo 5
Para indicar a direção, vamos ver como
e
mudam conforme
aumenta. Quando
aumenta, tanto
quanto
aumentam. Isso significa que, no gráfico, a curva se move para a direita e para cima conforme seguimos na direção positiva de
.
Resposta
A curva é uma hipérbole com equação
, aberta para a direita (só o ramo com
). Conforme
cresce de
a
, a curva se move da esquerda para a direita e de baixo para cima, indicando essa direção com setas no gráfico.
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utilizando o comprimento de arco medido a partir de
na direção de crescimento de
.
A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano
e seu raio é
, e que o fio começa a se desenrolar no ponto
. Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.
Calcular
, onde
& a rogião delimitada por
e
.
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
© O gráfico de da origem ao ponto
.
© O gráfico de