Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico de uma curva que está descrita por uma equação vetorial, ou seja, com dois componentes que dependem de um parâmetro . A equação dada é para entre e . Vamos usar conceitos de funções trigonométricas e gráficos paramétricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação representa. A função é a secante de , o que é igual a . Já a função é a tangente de , igual a . Portanto, nossa curva está definida por:

Passo 3

Agora, vamos eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre e . Sabemos que (uma identidade trigonométrica). Substituindo as expressões de e , temos:
Essa é a equação de uma hipérbole com centro na origem e abertos ao longo do eixo .

Passo 4

Vamos pensar no intervalo de , que é . Nesses valores, é sempre positivo, então também será positivo. Isso significa que estamos olhando apenas para o ramo da hipérbole onde .

Passo 5

Para indicar a direção, vamos ver como e mudam conforme aumenta. Quando aumenta, tanto quanto aumentam. Isso significa que, no gráfico, a curva se move para a direita e para cima conforme seguimos na direção positiva de .

Resposta

A curva é uma hipérbole com equação , aberta para a direita (só o ramo com ). Conforme cresce de a , a curva se move da esquerda para a direita e de baixo para cima, indicando essa direção com setas no gráfico.

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Reparametrize a hélice circular utilizando o comprimento de arco medido a partir de na direção de crescimento de .
A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano e seu raio é , e que o fio começa a se desenrolar no ponto . Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.
Calcular , onde & a rogião delimitada por e .
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
© O gráfico de da origem ao ponto .