Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce sigma(t) = (sec(t), tan(t)), t em (-pi/2, pi/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico de uma curva que está descrita por uma equação vetorial, ou seja, com dois componentes que dependem de um parâmetro . A equação dada é para entre e . Vamos usar conceitos de funções trigonométricas e gráficos paramétricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação representa. A função é a secante de , o que é igual a . Já a função é a tangente de , igual a . Portanto, nossa curva está definida por:

Passo 3

Agora, vamos eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre e . Sabemos que (uma identidade trigonométrica). Substituindo as expressões de e , temos:
Essa é a equação de uma hipérbole com centro na origem e abertos ao longo do eixo .

Passo 4

Vamos pensar no intervalo de , que é . Nesses valores, é sempre positivo, então também será positivo. Isso significa que estamos olhando apenas para o ramo da hipérbole onde .

Passo 5

Para indicar a direção, vamos ver como e mudam conforme aumenta. Quando aumenta, tanto quanto aumentam. Isso significa que, no gráfico, a curva se move para a direita e para cima conforme seguimos na direção positiva de .

Resposta

A curva é uma hipérbole com equação , aberta para a direita (só o ramo com ). Conforme cresce de a , a curva se move da esquerda para a direita e de baixo para cima, indicando essa direção com setas no gráfico.

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