Reparametrize a hélice circular utilizando o comprimento de arco medido a partir de na direção de crescimento de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reparametrizar uma hélice circular dada por usando o comprimento do arco a partir do ponto na direção em que aumenta. Isso significa que vamos mudar a variável de parâmetro de para o comprimento do arco .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é reparametrização. Basicamente, é substituir o parâmetro original por outro parâmetro, que nesse caso será o comprimento do arco . Para fazer isso, vamos calcular o comprimento do arco da hélice desde até um ponto qualquer .

Passo 3

A fórmula para o comprimento do arco de uma curva é dada por:
Vamos calcular :
Agora, a magnitude de é:

Passo 4

Com a magnitude constante de , o comprimento do arco fica:
Isso significa que:

Passo 5

Agora, queremos expressar em termos de em vez de . Substituindo por na expressão original da hélice:

Resposta

A reparametrização da hélice em termos do comprimento do arco é:

Exercícios relacionados

A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano e seu raio é , e que o fio começa a se desenrolar no ponto . Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: e .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce .
Calcular , onde & a rogião delimitada por e .