Reparametrize a hélice circular r(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + t * k utilizando o comprimento de arco medido a partir de (1, 0, 0) na direção de crescimento de t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reparametrizar uma hélice circular dada por usando o comprimento do arco a partir do ponto na direção em que aumenta. Isso significa que vamos mudar a variável de parâmetro de para o comprimento do arco .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é reparametrização. Basicamente, é substituir o parâmetro original por outro parâmetro, que nesse caso será o comprimento do arco . Para fazer isso, vamos calcular o comprimento do arco da hélice desde até um ponto qualquer .

Passo 3

A fórmula para o comprimento do arco de uma curva é dada por:
Vamos calcular :
Agora, a magnitude de é:

Passo 4

Com a magnitude constante de , o comprimento do arco fica:
Isso significa que:

Passo 5

Agora, queremos expressar em termos de em vez de . Substituindo por na expressão original da hélice:

Resposta

A reparametrização da hélice em termos do comprimento do arco é:

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