Reparametrize a hélice circular
utilizando o comprimento de arco medido a partir de
na direção de crescimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reparametrizar uma hélice circular dada por
usando o comprimento do arco a partir do ponto
na direção em que
aumenta. Isso significa que vamos mudar a variável de parâmetro de
para o comprimento do arco
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é reparametrização. Basicamente, é substituir o parâmetro original
por outro parâmetro, que nesse caso será o comprimento do arco
. Para fazer isso, vamos calcular o comprimento do arco da hélice desde
até um ponto qualquer
.
Passo 3
A fórmula para o comprimento do arco
de uma curva
é dada por:
Vamos calcular
:
Agora, a magnitude de
é:
Passo 4
Com a magnitude constante de
, o comprimento do arco
fica:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, queremos expressar
em termos de
em vez de
. Substituindo
por
na expressão original da hélice:
Resposta
A reparametrização da hélice em termos do comprimento do arco
é:
Exercícios relacionados
A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando este, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta colocado da origem do plano
e seu raio é
, e que o fio começa a se desenrolar no ponto
. Mostre que as equações paramétricas da involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:
além disso esboce a involuta do círculo.
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
.
Calcular
, onde
& a rogião delimitada por
e
.