Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
© O gráfico de y^3 = x da origem ao ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma parametrização diferenciável para a curva definida por , começando na origem e indo até o ponto . A matéria aqui é sobre parametrização de curvas em cálculo, e vamos precisar definir duas funções, e , que descrevem essa curva de maneira suave e contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um parâmetro que vai variar de 0 a 1, pois queremos ir do ponto ao . Uma forma simples é usar para representar . Então, podemos definir:
Isso significa que quando , , e quando , , exatamente como queremos.

Passo 3

Agora, como o exercício nos deu a relação , podemos usar essa equação para expressar em termos de . Substituindo na equação, temos:
Então, nossa função para fica .

Passo 4

Por último, precisamos verificar se essa parametrização é diferenciável. As funções e são polinômios, e polinômios são diferenciáveis em todo o seu domínio. Portanto, nossas funções e são diferenciáveis para todo em .

Resposta

A parametrização diferenciável para a curva da origem ao ponto é:

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