Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
© O gráfico de
da origem ao ponto
.
© O gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma parametrização diferenciável para a curva definida por
, começando na origem
e indo até o ponto
. A matéria aqui é sobre parametrização de curvas em cálculo, e vamos precisar definir duas funções,
e
, que descrevem essa curva de maneira suave e contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um parâmetro
que vai variar de 0 a 1, pois queremos ir do ponto
ao
. Uma forma simples é usar
para representar
. Então, podemos definir:
Isso significa que quando
,
, e quando
,
, exatamente como queremos.
Passo 3
Agora, como o exercício nos deu a relação
, podemos usar essa equação para expressar
em termos de
. Substituindo
na equação, temos:
Então, nossa função para
fica
.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se essa parametrização é diferenciável. As funções
e
são polinômios, e polinômios são diferenciáveis em todo o seu domínio. Portanto, nossas funções
e
são diferenciáveis para todo
em
.
Resposta
A parametrização diferenciável para a curva
da origem ao ponto
é: