Calcule os limites.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função quando se aproxima de . A função é . Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo, e vamos precisar entender como as funções se comportam próximo de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir na função para ver o que acontece:
A divisão por zero não é definida, então não podemos simplesmente substituir. Isso significa que o limite pode ser infinito ou não existir, dependendo de como a função se comporta perto de .

Passo 3

Vamos analisar o que acontece quando se aproxima de por valores maiores que (direita) e por valores menores que (esquerda).
Para se aproximando de pela direita ( ):
O denominador fica um número muito pequeno e positivo, porque estamos adicionando um número ligeiramente maior que . O numerador fica próximo de 2, já que . Então, temos:
Para se aproximando de pela esquerda ( ):
O denominador fica um número muito pequeno e negativo, porque estamos adicionando um número ligeiramente menor que . O numerador ainda fica próximo de 2. Então, temos:

Passo 4

Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais (um vai para e o outro para ), podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcule os limites.
Uma fábrica produz mensalmente unidades de um produto e unidades de um produto , sendo o custo mensal da produção conjunta dado por . Em certo mês foram produzidos 3000 unidades do produto e 2000 unidades do produto . Calcule o custa da produção neste mês.
Mostre que:
a) Se , então ;
Calcular , em que R é a região delimitada por e .