Então, a gente tem que provar que para a função , a -ésima derivada dela, que a gente escreve como , é igual a para todo número natural . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação. Vamos precisar entender como derivar funções repetidamente e usar indução matemática para mostrar que a fórmula vale para qualquer .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, como a função muda quando a variável muda. Para , a primeira derivada é .
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de . Usando a regra da potência, sabemos que . A derivada de é . Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, . Pegamos a derivada de . Novamente, usando a regra da potência:
Passo 5
Vamos para a terceira derivada, . Derivando :
Passo 6
Perceba o padrão: a cada derivada, o sinal alterna e o numerador aumenta em um fatorial. Para generalizar, vamos supor que para a -ésima derivada, a fórmula é:
Vamos usar indução matemática para provar isso.
Passo 7
Base da indução: Para , já vimos que , que corresponde a:
Isso confirma a base.
Passo 8
Passo indutivo: Suponha que para , a fórmula é verdadeira:
Queremos mostrar que para , a fórmula também funciona.