Mostre que:
a) Se , então ;

Passo 1

Então, a gente tem que provar que para a função , a -ésima derivada dela, que a gente escreve como , é igual a para todo número natural . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação. Vamos precisar entender como derivar funções repetidamente e usar indução matemática para mostrar que a fórmula vale para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, como a função muda quando a variável muda. Para , a primeira derivada é .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . Usando a regra da potência, sabemos que . A derivada de é . Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . Pegamos a derivada de . Novamente, usando a regra da potência:

Passo 5

Vamos para a terceira derivada, . Derivando :

Passo 6

Perceba o padrão: a cada derivada, o sinal alterna e o numerador aumenta em um fatorial. Para generalizar, vamos supor que para a -ésima derivada, a fórmula é:
Vamos usar indução matemática para provar isso.

Passo 7

Base da indução: Para , já vimos que , que corresponde a:
Isso confirma a base.

Passo 8

Passo indutivo: Suponha que para , a fórmula é verdadeira:
Queremos mostrar que para , a fórmula também funciona.

Passo 9

Derivando para encontrar :
Simplificando:
Isso confirma que a fórmula vale para .

Resposta

Portanto, mostramos que para toda ,

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