Mostre que:
a) Se
, então
;
a) Se
Passo 1
Então, a gente tem que provar que para a função
, a
-ésima derivada dela, que a gente escreve como
, é igual a
para todo número natural
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação. Vamos precisar entender como derivar funções repetidamente e usar indução matemática para mostrar que a fórmula vale para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, como a função muda quando a variável
muda. Para
, a primeira derivada é
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. Usando a regra da potência, sabemos que
. A derivada de
é
. Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
. Pegamos a derivada de
. Novamente, usando a regra da potência:
Passo 5
Vamos para a terceira derivada,
. Derivando
:
Passo 6
Perceba o padrão: a cada derivada, o sinal alterna e o numerador aumenta em um fatorial. Para generalizar, vamos supor que para a
-ésima derivada, a fórmula é:
Vamos usar indução matemática para provar isso.
Passo 7
Base da indução: Para
, já vimos que
, que corresponde a:
Isso confirma a base.
Passo 8
Passo indutivo: Suponha que para
, a fórmula é verdadeira:
Queremos mostrar que para
, a fórmula também funciona.
Passo 9
Derivando
para encontrar
:
Simplificando:
Isso confirma que a fórmula vale para
.
Resposta
Portanto, mostramos que para toda
,