Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que:
f(x, y)=sen x cos y ; R=[0, pi / 2] times[0, pi / 2] 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de integração e entender como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está definida como um retângulo no plano , onde varia de 0 a e também varia de 0 a . Isso significa que vamos integrar a função nesses intervalos.

Passo 3

A integral dupla pode ser escrita como uma iterada, ou seja, vamos integrar primeiro em relação a integral duplaR sin x cos y , dy , dx e depois em relação a :
Vamos fazer a integração em primeiro.

Passo 4

Vamos integrar integral0^pi2 sin x cos y , dy em relação a sin x [ sin y ]0^pi2 = sin x (sin pi2 - sin 0) = sin x (1 - 0) = sin x , mantendo constante:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado integral0^pi2 sin x , dx em relação a - cos x |0^pi2 = -cos pi2 + cos 0 = -0 + 1 = 1 no intervalo de 0 a :
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral dupla vale 1.

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