Calcule o volume do sólido , sendo os pontos internos à esfera e exteriores ao cilindro .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume do sólido , que é formado pelos pontos que estão dentro da esfera e também fora do cilindro . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente as coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em sólidos com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A esfera tem raio 5, já que . O cilindro tem raio 3, pois . Queremos o volume que está dentro da esfera mas fora do cilindro.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, , e . A equação da esfera vira e a do cilindro é simplesmente .

Passo 4

Como queremos o volume fora do cilindro, nosso intervalo para vai de 3 até 5 (raio da esfera). O varia de 0 a , cobrindo toda a volta. Para , para cada , vai de até .

Passo 5

A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é dada por:
Vamos resolver a integral em primeiro:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em . Vamos fazer uma substituição , então , ou .
Os limites de quando são e quando , .
A integral fica:
Calculando a integral de :
Aplicando os limites:
Então,

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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