Calcule o volume do sólido
, sendo
os pontos internos à esfera
e exteriores ao cilindro
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume do sólido
, que é formado pelos pontos que estão dentro da esfera
e também fora do cilindro
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente as coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em sólidos com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A esfera
tem raio 5, já que
. O cilindro
tem raio 3, pois
. Queremos o volume que está dentro da esfera mas fora do cilindro.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas,
,
e
. A equação da esfera vira
e a do cilindro é simplesmente
.
Passo 4
Como queremos o volume fora do cilindro, nosso intervalo para
vai de 3 até 5 (raio da esfera). O
varia de 0 a
, cobrindo toda a volta. Para
, para cada
, vai de
até
.
Passo 5
A expressão para o volume
em coordenadas cilíndricas é dada por:
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em
. Vamos fazer uma substituição
, então
, ou
.
Os limites de
quando
são
e quando
,
.
A integral fica:
Calculando a integral de
:
Aplicando os limites:
Então,
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
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.
Resposta:
8,53973
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na região
e
.
Resposta: 3,375
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Calcular
, em que: