Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume dos sólidos que estão delimitados pelas superfícies e . Isso envolve conceitos de cálculo de volumes usando integrais múltiplas, especialmente coordenadas polares, já que as equações são simétricas em relação ao círculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para e :
Isso significa que as superfícies se intersectam em um círculo de raio .

Passo 3

Como as equações são simétricas, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e a área infinitesimal é .

Passo 4

Agora, vamos expressar as duas superfícies em coordenadas polares:
O volume entre essas superfícies será a integral dupla da diferença entre elas, multiplicada pelo elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Montamos a integral para o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Substituindo :

Passo 7

Agora, integramos em :

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas é .

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