Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume dos sólidos que estão delimitados pelas superfícies
e
. Isso envolve conceitos de cálculo de volumes usando integrais múltiplas, especialmente coordenadas polares, já que as equações são simétricas em relação ao círculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
e
:
Isso significa que as superfícies se intersectam em um círculo de raio
.
Passo 3
Como as equações são simétricas, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e a área infinitesimal é
.
Passo 4
Agora, vamos expressar as duas superfícies em coordenadas polares:
O volume entre essas superfícies será a integral dupla da diferença entre elas, multiplicada pelo elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Montamos a integral para o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Resposta
O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas é
.
Exercícios relacionados
Utilizando coordenadas polares calcule:
Calcular
, em que:
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Uma lâmina tem a forma da região plana
delimitada pelas curvas
. Sua densidade de massa é constante. Determinar:
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y. constante,
o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo dos y.