Utilizando coordenadas polares calcule:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y d y d x 0

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado nos dá os limites de integração em x e y, e precisamos transformar isso para coordenadas polares para facilitar o cálculo. Vamos precisar entender como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas polares funcionam. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por (r, θ), onde r é a distância do ponto até a origem e θ é o ângulo em relação ao eixo positivo de x. A relação entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares é dada por:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o elemento de área r , dr , dtheta em coordenadas polares se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. A integral original vai de x = -2 a x = 2 e, para cada x, de y = -√(4 - x²) a y = √(4 - x²). Isso descreve um círculo de raio 2 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso significa que r varia de 0 a 2 e θ varia de 0 a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y , dy , dx = integral0^2pi integral0^2 (r sin(theta)) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^2 r^2 sin(theta) , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83
Agora, a integral fica:
83 integral0^2pi sin(theta) , dtheta

Passo 6

Integrando em relação a θ:
integral0^2pi sin(theta) , dtheta = [ -cos(theta) ]0^2pi = -cos(2pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 0.

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