Utilizando coordenadas polares calcule:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado nos dá os limites de integração em x e y, e precisamos transformar isso para coordenadas polares para facilitar o cálculo. Vamos precisar entender como converter integrais de coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas polares funcionam. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por (r, θ), onde r é a distância do ponto até a origem e θ é o ângulo em relação ao eixo positivo de x. A relação entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares é dada por:
E o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. A integral original vai de x = -2 a x = 2 e, para cada x, de y = -√(4 - x²) a y = √(4 - x²). Isso descreve um círculo de raio 2 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso significa que r varia de 0 a 2 e θ varia de 0 a
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar em relação a r primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a θ:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é 0.
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Calcular
, em que:
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
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