Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies
,
,
e
. Aqui, estamos lidando com geometria espacial e cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como essas superfícies se encaixam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies:
- Cilindro
: É um cilindro circular de raio 1, centrado no eixo . - Plano
: É o plano xy, a base onde é zero. - Paraboloide
: Uma superfície parabólica que se abre para cima. - Plano
: Um plano horizontal paralelo ao plano xy, cortando o eixo no ponto .
Queremos encontrar o volume onde essas superfícies se intersectam.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Como temos simetria circular, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, a equação do cilindro
vira
.
Passo 4
Vamos identificar os limites para
:
- De baixo,
(plano xy). - De cima, temos duas superfícies: o paraboloide
e o plano .
Precisamos ver onde essas superfícies se encontram:
Mas nosso cilindro limita
a 1, e
é maior que 1. Portanto, para
de 0 a 1, o teto será dado pelo paraboloide
.
Além disso, o plano
está acima do paraboloide dentro do cilindro, então não interfere nos limites superiores.
Passo 5
Então, vamos configurar a integral para o volume usando coordenadas cilíndricas:
Aqui,
é o fator de escala que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas, e os limites são definidos conforme discutido.
Passo 6
Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Assim, a integral se reduz a:
Resposta
O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido
, sendo
os pontos internos à esfera
e exteriores ao cilindro
.
Resposta:
Resposta:
Calcule a integral dupla da função
na região
.
Resposta:
8,53973
Resposta:
8,53973
Calcular
, em que:
Utilizando coordenadas polares calcule: