Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies , , e . Aqui, estamos lidando com geometria espacial e cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como essas superfícies se encaixam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies:
  1. Cilindro : É um cilindro circular de raio 1, centrado no eixo .
  2. Plano : É o plano xy, a base onde é zero.
  3. Paraboloide : Uma superfície parabólica que se abre para cima.
  4. Plano : Um plano horizontal paralelo ao plano xy, cortando o eixo no ponto .
Queremos encontrar o volume onde essas superfícies se intersectam.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Como temos simetria circular, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, a equação do cilindro vira .

Passo 4

Vamos identificar os limites para :
  • De baixo, (plano xy).
  • De cima, temos duas superfícies: o paraboloide e o plano .
Precisamos ver onde essas superfícies se encontram:
.
Mas nosso cilindro limita a 1, e é maior que 1. Portanto, para de 0 a 1, o teto será dado pelo paraboloide .
Além disso, o plano está acima do paraboloide dentro do cilindro, então não interfere nos limites superiores.

Passo 5

Então, vamos configurar a integral para o volume usando coordenadas cilíndricas:
Aqui, é o fator de escala que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas, e os limites são definidos conforme discutido.

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Assim, a integral se reduz a:

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies é .

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Calcule o volume do sólido , sendo os pontos internos à esfera e exteriores ao cilindro .
Resposta:
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.
Resposta:
8,53973
Calcular , em que:
Utilizando coordenadas polares calcule: