Calcular integral duplaR(x^2+y^2) d x d y, em que R é a região delimitada por y=raizx, x=4 e y=0.
y <= 2
y <= 2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral dupla integral duplaR(x^2+y^2) d x d y. A região R é delimitada pelas curvas y=raizx, x=4, y=0 e y <= 2. Aqui, vamos usar um pouquinho de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. A curva y=raizx pode ser reescrita como x = y^2. Temos também a vertical x=4, a horizontal y=0 e a restrição y <= 2. Isso significa que y vai de 0 até 2, e para cada y, x vai de y^2 até 4.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites:
integral duplaR(x^2+y^2) d x d y = integraly=0^2 integralx=y^2^4 (x^2+y^2) dx dy

Passo 4

Vamos primeiro integrar com relação a x. A integral de x^2 em relação a x é x^33 e a integral de y^2 em relação a x é y^2x. Então:
integralx=y^2^4 (x^2+y^2) dx = [x^33 + y^2x]x=y^2^4
Calculando nos limites:
(4^33 + y^2(4)) - ((y^2)^33 + y^2(y^2)) = (643 + 4y^2) - (y^63 + y^4)

Passo 5

Agora, vamos integrar isso com relação a y de 0 a 2:
integral0^2 (643 + 4y^2 - y^63 - y^4) dy
Integrando termo a termo:
643y + 4y^33 - y^721 - y^55 g|0^2
Calculando nos limites:
(643(2) + 4(2)^33 - 2^721 - 2^55) - 0
= 1283 + 323 - 12821 - 325
Agora, vamos somar tudo:
128 + 323 = 1603
1603 - 12821 - 325 = 160 times 35105 - 128 times 5105 - 32 times 21105 = 5600 - 640 - 672105 = 4288105
Simplificando:
4288105 approx 40.85

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 40,85.

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