Resolva a EQ DIF
(2 x y^2 + 2 y) + (2 x^2 y + 2 x) d y / d x = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial:
(2 x y^2 + 2 y) + (2 x^2 y + 2 x) d y / d x = 0
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a resolva.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, vemos que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é quando é constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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y <= 2
y <= 2
Use a regra da cadeia para achar d/z dt.
z = x * y * e^(y), x = t^2, y = 5 * t.
Use a regra da cadeia para achar d/z dt.
z = x^2 * y + x * y^2, x = 3 * t, y = t^2.