Resolva a EQ DIF
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial:
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a resolva.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos, vemos que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é quando
é constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Inverter a ordem de integração.
Calcular
, em que
é a região delimitada por
e
.
Use a regra da cadeia para achar
.
.
Use a regra da cadeia para achar
.
.