Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário. Aqui, precisamos calcular a velocidade das curvas parametrizadas definidas por
. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas de funções vetoriais, especificamente para encontrar a velocidade de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar derivar cada componente da função
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma curva parametrizada é dada pela derivada da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade
é a derivada de
em relação a
:
.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada componente de
. A função
tem três componentes:
,
e
.
Passo 4
Derivando a primeira componente
em relação a
:
Passo 5
Derivando a segunda componente
em relação a
:
Passo 6
Derivando a terceira componente
em relação a
:
Resposta
Portanto, a velocidade da curva parametrizada é:
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Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
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Calcular
, em que
é a região delimitada por
e
.
Inverter a ordem de integração.