Calcular integral duplaR y d y d x, em que R é a região delimitada por y=x^2, x=0 e y=4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR y , dy , dx, onde R é a região delimitada pelas curvas y = x^2, x = 0 e y = 4. Isso envolve entender como essas curvas se comportam no plano e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Vamos identificar a região R. A curva y = x^2 é uma parábola que se abre para cima. A reta x = 0 é o eixo y. A linha horizontal y = 4 corta a parábola nos pontos onde x^2 = 4, ou seja, x = -2 e x = 2. Porém, como temos x = 0 como limite, consideraremos apenas x de 0 a 2.

Passo 3

Agora, estabelecemos os limites de integração. Para cada valor de x entre 0 e 2, y varia de x^2 até 4. Portanto, a integral fica:
integral0^2 integralx^2^4 y , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integralx^2^4 y , dy = [ y^22 ]x^2^4 = 4^22 - (x^2)^22 = 162 - x^42 = 8 - x^42

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa e resolvemos em relação a x:
integral0^2 (8 - x^42) dx = integral0^2 8 , dx - 12 integral0^2 x^4 , dx
= 8x |0^2 - 12 [ x^55 ]0^2 = 8(2) - 12 ( 325 - 0 ) = 16 - 165 = 805 - 165 = 645

Resposta

A integral dupla vale 645.

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