Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
  1. lim x +infty x-5raiz3 x^2-x+1=

Passo 1

Vamos calcular o limite . Nesse problema, estamos trabalhando com limites envolvendo funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, precisamos entender como os termos de maior grau em polinômios influenciam o comportamento da função quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos que mais influenciam à medida que tende ao infinito. No numerador, temos . Conforme aumenta, o termo domina sobre o . No denominador, temos . Aqui, o termo dentro da raiz é o que mais cresce, tornando os outros termos menos significativos para grandes valores de .

Passo 3

Para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por x - 5raiz3x^2 - x + 1 = x (1 - 5x)x raiz3 - 1x + 1x^2 = 1 - 5xraiz3 - 1x + 1x^2 , que é o termo de maior grau no numerador. Isso nos ajuda a isolar o comportamento dominante da função.

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1 - 5x approx 1 e raiz3 - 1x + 1x^2 approx raiz3 tende ao infinito. Os termos , e se aproximam de zero, já que qualquer número dividido por um número muito grande tende a zero.
Então, simplificando:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
1 - 5xraiz3 - 1x + 1x^2 approx 1raiz3

Resposta

Portanto, o limite é .

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