Questão 4 - Considere a função
. Determine o domínio desta função. Discuta a continuidade esta função. Torne-a contínua usando uma função definida por várias sentenças.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função
. Primeiro, precisamos descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como dividir por zero. Depois, vamos falar sobre a continuidade da função e, por último, ajustar a função para que ela seja contínua usando uma definição por partes.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, a função é uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero (porque não dá para dividir por zero, isso não existe na matemática).
Então, temos o denominador
. Vamos igualar a zero para encontrar o valor que não pode ser usado:
Portanto,
não está no domínio da função.
Passo 3
Agora que sabemos que
não pode ser usado, o domínio da função é todos os reais exceto
. Em notação de conjunto, ficaria assim:
Passo 4
Vamos falar sobre a continuidade da função
. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos”, “buracos” ou “assíntotas” nesse ponto. A função racional que a gente tem aqui pode ter problemas de continuidade onde o denominador é zero, que já identificamos como
.
Vamos simplificar a função para ver o que acontece:
O numerador pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Aqui, o
cancela, mas lembrando que
. Simplificando:
A função
é uma reta, que é contínua em todos os pontos. A única descontinuidade está em
, onde a função original não está definida.
Passo 5
Para tornar a função contínua, precisamos “preencher” o buraco que deixamos em
. Como a função simplificada é
, podemos definir uma nova função que é igual a
em todos os pontos, inclusive em
.
Então, vamos criar uma função por partes:
Por que 1? Porque se a gente substituir
na função simplificada
, dá:
Assim, preenchemos o buraco e a função fica contínua em todo o seu domínio.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais menos
. A função original não é contínua em
, mas podemos torná-la contínua definindo:
Dessa forma, a função se torna contínua em todo o seu domínio.
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Calcular
, em que R é a região delimitada por
e
.
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
e)
e)
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a
f)
f)
Calcule