Questão 4 - Considere a função . Determine o domínio desta função. Discuta a continuidade esta função. Torne-a contínua usando uma função definida por várias sentenças.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função . Primeiro, precisamos descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como dividir por zero. Depois, vamos falar sobre a continuidade da função e, por último, ajustar a função para que ela seja contínua usando uma definição por partes.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, a função é uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero (porque não dá para dividir por zero, isso não existe na matemática).
Então, temos o denominador . Vamos igualar a zero para encontrar o valor que não pode ser usado:
Portanto, não está no domínio da função.

Passo 3

Agora que sabemos que não pode ser usado, o domínio da função é todos os reais exceto . Em notação de conjunto, ficaria assim:
í

Passo 4

Vamos falar sobre a continuidade da função . Uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos”, “buracos” ou “assíntotas” nesse ponto. A função racional que a gente tem aqui pode ter problemas de continuidade onde o denominador é zero, que já identificamos como .
Vamos simplificar a função para ver o que acontece:
O numerador pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Aqui, o cancela, mas lembrando que . Simplificando:
A função é uma reta, que é contínua em todos os pontos. A única descontinuidade está em , onde a função original não está definida.

Passo 5

Para tornar a função contínua, precisamos “preencher” o buraco que deixamos em . Como a função simplificada é , podemos definir uma nova função que é igual a em todos os pontos, inclusive em .
Então, vamos criar uma função por partes:
Por que 1? Porque se a gente substituir na função simplificada , dá:
Assim, preenchemos o buraco e a função fica contínua em todo o seu domínio.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menos . A função original não é contínua em , mas podemos torná-la contínua definindo:
Dessa forma, a função se torna contínua em todo o seu domínio.

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e)
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f)
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