Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
e) lim x 0 (x+1)^4-1x=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver o limite . Isso tá dentro da matéria de Cálculo, especificamente envolvendo limites e polinômios. Vamos precisar entender como expandir expressões com potências e simplificar frações para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k . Para isso, podemos usar o Teorema do Binômio, que nos ajuda a desenvolver potências de binômios. A fórmula geral para (x + 1)^4 = binom40x^4 + binom41x^3 cdot 1 + binom42x^2 cdot 1^2 + binom43x cdot 1^3 + binom441^4 é:
= 1x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
Aplicando isso para (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 :
Calculando os coeficientes:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão do limite:
lim x 0 (x+1)^4-1x = lim x 0 x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 - 1x
Simplificando o numerador:
= lim x 0 x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4xx
Agora, vamos dividir cada termo do numerador por = lim x 0 ( x^3 + 4x^2 + 6x + 4 ) :

Passo 4

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo x^3 + 4x^2 + 6x + 4 = 0^3 + 4 cdot 0^2 + 6 cdot 0 + 4 = 0 + 0 + 0 + 4 = 4 por 0:

Resposta

O limite é igual a 4.

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