Calcular I=integral duplaS f cdot n d S, sendo f=(x+1) i+y j+2 k e S a superfície exterior
_de z=y^2+1 delimitada por x=0, x=1 e z=17.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a parte da superfície que está entre , e . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é dada por e está limitada por , e . Isso significa que varia de a porque implica .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n = ( -partial phipartial x, -partial phipartial y, 1 ) à superfície. Para uma superfície definida por partial phipartial x = 0 e partial phipartial y = 2y , o vetor normal é dado por:
n = (0, -2y, 1)
No nosso caso, , então:
Portanto, o vetor normal fica:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar f cdot n = (x+1) cdot 0 + y cdot (-2y) + 2 cdot 1 = -2y^2 + 2 :

Passo 5

Agora, montamos a integral:
I = integral duplaS (-2y^2 + 2) , dS
Como I = integral0^1 integral-4^4 (-2y^2 + 2) , dy , dx é dada em termos de e , podemos escrever como . Os limites de integração são de a e de a . Então:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral-4^4 (-2y^2 + 2) , dy = [ -23y^3 + 2y ]-4^4 :
( -23(4)^3 + 2(4) ) - ( -23(-4)^3 + 2(-4) ) = ( -1283 + 8 ) - ( 1283 - 8 ) = -2083
Calculando nos limites:

Passo 7

Agora, integramos em relação a I = integral0^1 ( -2083 ) dx = -2083 times 1 = -2083 :

Resposta

O valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados