Calcular
, sendo
e
a superfície exterior
_de
delimitada por
e
.
_de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
e
é a parte da superfície
que está entre
,
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é dada por
e está limitada por
,
e
. Isso significa que
varia de
a
porque
implica
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície. Para uma superfície definida por
, o vetor normal é dado por:
No nosso caso,
, então:
Portanto, o vetor normal fica:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, montamos a integral:
Como
é dada em termos de
e
, podemos escrever
como
. Os limites de integração são
de
a
e
de
a
. Então:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Calculando nos limites:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Se
é dada por:
se
e
, prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
© A função
Calcular
, onde
, ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde
e
, de
até
;
c) quadrado de vértices e
no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
a) circunferência de centro em
b) poligonal
c) quadrado de vértices
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
Seja
, dada pela lei
.
(b) é injetora?
(b)