Calcular , sendo e a superfície exterior
_de delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a parte da superfície que está entre , e . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é dada por e está limitada por , e . Isso significa que varia de a porque implica .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para uma superfície definida por , o vetor normal é dado por:
No nosso caso, , então:
Portanto, o vetor normal fica:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, montamos a integral:
Como é dada em termos de e , podemos escrever como . Os limites de integração são de a e de a . Então:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a :
Calculando nos limites:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Se é dada por: se e , prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
Calcular , onde , ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde e , de até ;
c) quadrado de vértices e no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
, onde é o perímetro do retângulo , no sentido anti-horário.
Seja , dada pela lei .
(b) é injetora?