Seja f: N x N -> N, dada pela lei f(x, y) = mdc(x, y).
(b) f é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O que a gente quer saber aqui é se essa função é injetora. Na matemática, uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é injetividade e como o máximo divisor comum (mdc) funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se ela nunca atribui o mesmo valor de saída para dois pares de entrada diferentes. Em outras palavras, se implica que e .

Passo 3

Agora, vamos pensar no . O máximo divisor comum de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, porque 2 é o maior número que divide tanto 4 quanto 6.

Passo 4

Para verificar se é injetora, precisamos ver se existem diferentes pares que resultam no mesmo . Se encontrarmos mesmo um exemplo assim, a função não é injetora.

Passo 5

Vamos considerar dois pares diferentes:
  • :
  • :
Aqui vemos que , mas claramente .

Passo 6

Como encontramos dois pares distintos que resultam no mesmo valor de , isso mostra que a função não é injetora. Ou seja, diferentes entradas podem levar ao mesmo resultado.

Resposta

Não, a função não é injetora.

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