Seja
, dada pela lei
.
(b)
é injetora?
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O que a gente quer saber aqui é se essa função é injetora. Na matemática, uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é injetividade e como o máximo divisor comum (mdc) funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se ela nunca atribui o mesmo valor de saída para dois pares de entrada diferentes. Em outras palavras, se
implica que
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no
. O máximo divisor comum de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo,
porque 2 é o maior número que divide tanto 4 quanto 6.
Passo 4
Para verificar se
é injetora, precisamos ver se existem diferentes pares
que resultam no mesmo
. Se encontrarmos mesmo um exemplo assim, a função não é injetora.
Passo 5
Vamos considerar dois pares diferentes:
-
: -
:
Aqui vemos que
, mas claramente
.
Passo 6
Como encontramos dois pares distintos que resultam no mesmo valor de
, isso mostra que a função
não é injetora. Ou seja, diferentes entradas podem levar ao mesmo resultado.
Resposta
Não, a função
não é injetora.
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Calcular
, sendo
e
a superfície exterior
_de delimitada por
e
.
_de
Use TFC 1 para encontrar a derivada das funções