Se é dada por: se e , prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida para todos os pontos diferentes de e, na origem, . Nosso objetivo aqui é provar que essa função não é diferenciável na origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limite e diferenciabilidade, e também entender o que o Lema Fundamental diz sobre isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Isso envolve a existência das derivadas parciais em e que o erro dessa aproximação é bem pequeno (tende a zero mais rápido que a distância ao ponto).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais são as taxas de variação de em relação a e separadamente. Usando a definição:

Passo 4

Calculando :
Então,
Agora, calculando :
Então,

Passo 5

Agora que sabemos que as derivadas parciais existem e são iguais a zero na origem, vamos verificar se a função é realmente diferenciável ali. Para isso, precisamos analisar o limite:
Como e , o limite fica:

Passo 6

Substituindo :
Vamos avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele existe e é igual a zero.
Se escolhermos , temos:
Como o limite depende do caminho que escolhemos e não é sempre zero, isso significa que o limite não existe.

Passo 7

Como o limite necessário para a diferenciabilidade não existe, concluímos que a função não é diferenciável na origem.

Passo 8

Mas aí vem a pergunta: “Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?” O Lema Fundamental geralmente afirma que se as derivadas parciais existem e são contínuas em um entorno do ponto, então a função é diferenciável ali. No nosso caso, embora as derivadas parciais existam na origem, elas não são contínuas em . Por exemplo, ao aproximar a origem por diferentes caminhos, as derivadas parciais não se comportam de forma consistente. Portanto, o Lema Fundamental não é violado porque as condições do lema (como continuidade das derivadas) não são satisfeitas.

Resposta

A função não é diferenciável na origem porque o limite que define a diferenciabilidade não existe, já que depende do caminho de aproximação. Isso não contradiz o Lema Fundamental porque as derivadas parciais de não são contínuas na origem, uma condição necessária para o lema garantir a diferenciabilidade.

Exercícios relacionados

Calcular , onde , ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde e , de até ;
c) quadrado de vértices e no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
Se é dada por: se e , prove que:
(a) A função é contínua na origem.
Calcular , sendo e a superfície exterior
_de delimitada por e .
, onde é o perímetro do retângulo , no sentido anti-horário.