Se
é dada por:
se
e
, prove que:
© A função
não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
© A função
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
definida para todos os pontos
diferentes de
e, na origem,
. Nosso objetivo aqui é provar que essa função não é diferenciável na origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limite e diferenciabilidade, e também entender o que o Lema Fundamental diz sobre isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Isso envolve a existência das derivadas parciais em
e que o erro dessa aproximação é bem pequeno (tende a zero mais rápido que a distância ao ponto).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais são as taxas de variação de
em relação a
e
separadamente. Usando a definição:
Passo 4
Calculando
:
Então,
Agora, calculando
:
Então,
Passo 5
Agora que sabemos que as derivadas parciais existem e são iguais a zero na origem, vamos verificar se a função é realmente diferenciável ali. Para isso, precisamos analisar o limite:
Como
e
, o limite fica:
Passo 6
Substituindo
:
Vamos avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele existe e é igual a zero.
Se escolhermos
, temos:
Como o limite depende do caminho que escolhemos e não é sempre zero, isso significa que o limite não existe.
Passo 7
Como o limite necessário para a diferenciabilidade não existe, concluímos que a função
não é diferenciável na origem.
Passo 8
Mas aí vem a pergunta: “Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?” O Lema Fundamental geralmente afirma que se as derivadas parciais existem e são contínuas em um entorno do ponto, então a função é diferenciável ali. No nosso caso, embora as derivadas parciais existam na origem, elas não são contínuas em
. Por exemplo, ao aproximar a origem por diferentes caminhos, as derivadas parciais não se comportam de forma consistente. Portanto, o Lema Fundamental não é violado porque as condições do lema (como continuidade das derivadas) não são satisfeitas.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem porque o limite que define a diferenciabilidade não existe, já que depende do caminho de aproximação. Isso não contradiz o Lema Fundamental porque as derivadas parciais de
não são contínuas na origem, uma condição necessária para o lema garantir a diferenciabilidade.
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Calcular
, onde
, ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde
e
, de
até
;
c) quadrado de vértices e
no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
a) circunferência de centro em
b) poligonal
c) quadrado de vértices
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
Se
é dada por:
se
e
, prove que:
(a) A função é contínua na origem.
(a) A função
Calcular
, sendo
e
a superfície exterior
_de delimitada por
e
.
_de