Calcular
, onde
, ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em
e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal
, onde
e
, de
até
;
c) quadrado de vértices
e
no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
a) circunferência de centro em
b) poligonal
c) quadrado de vértices
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de linha
, onde
. O caminho que vamos seguir é a circunferência com centro em
e raio 2, no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo conservativo e a propriedade das integrais em torno de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial cuja derivada é o campo. Além disso, em regiões simplesmente conexas (sem “buracos”), se o rotacional do campo for zero, então o campo é conservativo. Calculando o rotacional de
:
Após calcular, vemos que o rotacional é zero em todo lugar, exceto na origem.
Passo 3
Como o caminho é uma circunferência centrada em
com raio 2, ele não envolve a origem (0,0). Isso significa que o campo
é conservativo nesse domínio específico. Para campos conservativos, a integral em torno de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
ao longo do caminho poligonal
, onde
,
,
e
, indo de
até
. Para isso, vamos dividir o caminho em segmentos e calcular a integral em cada segmento.
Passo 5
Como o campo
é conservativo fora da origem, podemos calcular a diferença do potencial entre os pontos finais e iniciais. Mas primeiro, devemos identificar uma função potencial
tal que
.
Passo 6
Integrando
, encontramos que
. Assim, a integral ao longo do caminho depende apenas dos pontos finais.
Passo 7
Calculando a diferença do potencial entre
e
:
Passo 8
Vamos calcular
ao longo de um quadrado com vértices
,
,
e
, no sentido anti-horário. Para isso, seguiremos os lados do quadrado e calcularemos a integral em cada segmento.
Passo 9
Novamente, como o campo
é conservativo fora da origem e o quadrado não envolve a origem, a integral em uma curva fechada será zero, pois o campo não tem circulação nesse caminho.
Passo 10
Por fim, vamos calcular a integral
ao longo da circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário. Aqui, o caminho engloba a origem, onde o campo
não é conservativo.
Passo 11
Para campos que circulam em torno de singularidades (como a origem neste caso), a integral pode ser relacionada ao número de voltas ao redor da singularidade e ao comportamento do campo.
Passo 12
Observando o campo
, percebemos que ele é semelhante ao campo rotacional, cujo rotacional em torno da origem é constante. Usando o teorema de Green, a integral ao longo da curva fechada será
vezes o coeficiente do rotacional.
Passo 13
Calculando o rotacional de
:
Na verdade, o rotacional é zero, mas como a curva envolve a singularidade, devemos considerar a circulação em torno dela.
Passo 14
Sabemos que para campos como
, a integral ao redor da origem no sentido anti-horário é
. Portanto, mesmo com o rotacional aparentemente zero, a singularidade contribui com
.
Resposta
A integral
ao longo da circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário, é
.