Calcular integralc f cdot d r, onde f=(yx^2+y^2, -xx^2+y^2), ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em (4,4) e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal A B C D, onde A(1,0), B(1,1), C(2,1) e D(2,2), de A até D;
c) quadrado de vértices A(1,0), B(2,0), C(1,-1) e D(2,-1) no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde . O caminho que vamos seguir é a circunferência com centro em e raio 2, no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo conservativo e a propriedade das integrais em torno de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo rot f = partialpartial x(-xx^2+y^2) - partialpartial y(yx^2+y^2) é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial cuja derivada é o campo. Além disso, em regiões simplesmente conexas (sem “buracos”), se o rotacional do campo for zero, então o campo é conservativo. Calculando o rotacional de :
Após calcular, vemos que o rotacional é zero em todo lugar, exceto na origem.

Passo 3

Como o caminho é uma circunferência centrada em com raio 2, ele não envolve a origem (0,0). Isso significa que o campo é conservativo nesse domínio específico. Para campos conservativos, a integral em torno de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral ao longo do caminho poligonal , onde , , e , indo de até . Para isso, vamos dividir o caminho em segmentos e calcular a integral em cada segmento.

Passo 5

Como o campo é conservativo fora da origem, podemos calcular a diferença do potencial entre os pontos finais e iniciais. Mas primeiro, devemos identificar uma função potencial tal que .

Passo 6

Integrando , encontramos que . Assim, a integral ao longo do caminho depende apenas dos pontos finais.

Passo 7

Calculando a diferença do potencial entre phi(D) - phi(A) = arctan(22) - arctan(01) = arctan(1) - 0 = pi4 e :

Passo 8

Vamos calcular ao longo de um quadrado com vértices , , e , no sentido anti-horário. Para isso, seguiremos os lados do quadrado e calcularemos a integral em cada segmento.

Passo 9

Novamente, como o campo é conservativo fora da origem e o quadrado não envolve a origem, a integral em uma curva fechada será zero, pois o campo não tem circulação nesse caminho.

Passo 10

Por fim, vamos calcular a integral ao longo da circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário. Aqui, o caminho engloba a origem, onde o campo não é conservativo.

Passo 11

Para campos que circulam em torno de singularidades (como a origem neste caso), a integral pode ser relacionada ao número de voltas ao redor da singularidade e ao comportamento do campo.

Passo 12

Observando o campo , percebemos que ele é semelhante ao campo rotacional, cujo rotacional em torno da origem é constante. Usando o teorema de Green, a integral ao longo da curva fechada será vezes o coeficiente do rotacional.

Passo 13

Calculando o rotacional de rot f = partialpartial x(-xx^2+y^2) - partialpartial y(yx^2+y^2) = -x^2 - y^2 + 2x^2(x^2+y^2)^2 - x^2 + y^2 - 2y^2(x^2+y^2)^2 = 0 :
Na verdade, o rotacional é zero, mas como a curva envolve a singularidade, devemos considerar a circulação em torno dela.

Passo 14

Sabemos que para campos como , a integral ao redor da origem no sentido anti-horário é . Portanto, mesmo com o rotacional aparentemente zero, a singularidade contribui com .

Resposta

A integral ao longo da circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário, é .

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