Calcular , onde , ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde e , de até ;
c) quadrado de vértices e no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde . O caminho que vamos seguir é a circunferência com centro em e raio 2, no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo conservativo e a propriedade das integrais em torno de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial cuja derivada é o campo. Além disso, em regiões simplesmente conexas (sem “buracos”), se o rotacional do campo for zero, então o campo é conservativo. Calculando o rotacional de :
Após calcular, vemos que o rotacional é zero em todo lugar, exceto na origem.

Passo 3

Como o caminho é uma circunferência centrada em com raio 2, ele não envolve a origem (0,0). Isso significa que o campo é conservativo nesse domínio específico. Para campos conservativos, a integral em torno de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral ao longo do caminho poligonal , onde , , e , indo de até . Para isso, vamos dividir o caminho em segmentos e calcular a integral em cada segmento.

Passo 5

Como o campo é conservativo fora da origem, podemos calcular a diferença do potencial entre os pontos finais e iniciais. Mas primeiro, devemos identificar uma função potencial tal que .

Passo 6

Integrando , encontramos que . Assim, a integral ao longo do caminho depende apenas dos pontos finais.

Passo 7

Calculando a diferença do potencial entre e :

Passo 8

Vamos calcular ao longo de um quadrado com vértices , , e , no sentido anti-horário. Para isso, seguiremos os lados do quadrado e calcularemos a integral em cada segmento.

Passo 9

Novamente, como o campo é conservativo fora da origem e o quadrado não envolve a origem, a integral em uma curva fechada será zero, pois o campo não tem circulação nesse caminho.

Passo 10

Por fim, vamos calcular a integral ao longo da circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário. Aqui, o caminho engloba a origem, onde o campo não é conservativo.

Passo 11

Para campos que circulam em torno de singularidades (como a origem neste caso), a integral pode ser relacionada ao número de voltas ao redor da singularidade e ao comportamento do campo.

Passo 12

Observando o campo , percebemos que ele é semelhante ao campo rotacional, cujo rotacional em torno da origem é constante. Usando o teorema de Green, a integral ao longo da curva fechada será vezes o coeficiente do rotacional.

Passo 13

Calculando o rotacional de :
Na verdade, o rotacional é zero, mas como a curva envolve a singularidade, devemos considerar a circulação em torno dela.

Passo 14

Sabemos que para campos como , a integral ao redor da origem no sentido anti-horário é . Portanto, mesmo com o rotacional aparentemente zero, a singularidade contribui com .

Resposta

A integral ao longo da circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário, é .

Exercícios relacionados

Se é dada por: se e , prove que:
(a) A função é contínua na origem.
Pode-se obter aproximações de utilizando a sequência recursiva , onde .
(a) Encontre as aproximações para .
(b) Mostre que, se , então .
Se é dada por: se e , prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
Calcular , sendo e a superfície exterior
_de delimitada por e .