ointc(x d x+y d y+z^2 d z), onde C é o perímetro do retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 4, z=4, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
ointC(x, dx + y, dy + z^2, dz),
onde é o perímetro de um retângulo definido por , , e , percorrido no sentido anti-horário. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e vamos precisar parametrizar cada trecho do retângulo para calcular a integral total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . O retângulo está no plano e tem os vértices nos pontos:
Vamos percorrer esses pontos na ordem , seguindo o sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em quatro partes, uma para cada lado do retângulo:
  1. De a : varia de 0 a 2, ,
  2. De a : varia de 0 a 4, ,
  3. De a : varia de 2 a 0, ,
  4. De a : varia de 4 a 0, ,
Vamos calcular a integral em cada trecho e depois somar os resultados.

Passo 4

Integral de integral0^2 (x, dx + 0 + 4^2 cdot 0) = integral0^2 x, dx = x^22|0^2 = 42 - 0 = 2 a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 5

Integral de integral0^4 (2 cdot 0 + y, dy + 4^2 cdot 0) = integral0^4 y, dy = y^22|0^4 = 162 - 0 = 8 a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 6

Integral de integral2^0 (x, dx + 4 cdot 0 + 4^2 cdot 0) = integral2^0 x, dx = x^22|2^0 = 0 - 42 = -2 a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 7

Integral de integral4^0 (0 cdot 0 + y, dy + 4^2 cdot 0) = integral4^0 y, dy = y^22|4^0 = 0 - 162 = -8 a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 8

Agora, somamos todas as integrais dos quatro trechos:
2 + 8 - 2 - 8 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

Exercícios relacionados