, onde é o perímetro do retângulo , no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
onde é o perímetro de um retângulo definido por , , e , percorrido no sentido anti-horário. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e vamos precisar parametrizar cada trecho do retângulo para calcular a integral total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . O retângulo está no plano e tem os vértices nos pontos:
Vamos percorrer esses pontos na ordem , seguindo o sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em quatro partes, uma para cada lado do retângulo:
  1. De a : varia de 0 a 2, ,
  2. De a : varia de 0 a 4, ,
  3. De a : varia de 2 a 0, ,
  4. De a : varia de 4 a 0, ,
Vamos calcular a integral em cada trecho e depois somar os resultados.

Passo 4

Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 5

Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 6

Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 7

Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:

Passo 8

Agora, somamos todas as integrais dos quatro trechos:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcular , sendo e a superfície exterior
_de delimitada por e .
Se é dada por: se e , prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
Seja , dada pela lei .
(b) é injetora?