, onde é o perímetro do retângulo , no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
onde é o perímetro de um retângulo definido por , , e , percorrido no sentido anti-horário. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e vamos precisar parametrizar cada trecho do retângulo para calcular a integral total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho . O retângulo está no plano e tem os vértices nos pontos:
Vamos percorrer esses pontos na ordem , seguindo o sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em quatro partes, uma para cada lado do retângulo:
De a : varia de 0 a 2, ,
De a : varia de 0 a 4, ,
De a : varia de 2 a 0, ,
De a : varia de 4 a 0, ,
Vamos calcular a integral em cada trecho e depois somar os resultados.
Passo 4
Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:
Passo 5
Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:
Passo 6
Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:
Passo 7
Integral de a :
Aqui, e , então e .
A integral fica:
Passo 8
Agora, somamos todas as integrais dos quatro trechos: