Calcular
I=integral duplaT^11 d V
Onde T e a porção da esfera x^2+y^2+z^2=11 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1. Resp. : 2 pi3

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral tripla . O enunciado fala que é a parte da esfera que está dentro do cilindro . Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A esfera é uma bola de raio 1 centrada na origem. O cilindro tem raio 1 e é infinito ao longo do eixo . A região que a gente quer é a parte da esfera que está dentro desse cilindro.

Passo 3

Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa mudança, a equação da esfera vira e a do cilindro fica .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 1, já que estamos dentro do cilindro .
  • varia de 0 a , cobrindo toda a volta.
  • varia de a , conforme a equação da esfera.

Passo 5

A integral tripla fica:
I = integral0^2pi integral0^1 integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 dz = 2raiz1 - r^2 :
I = integral0^2pi integral0^1 2rraiz1 - r^2 , dr , dtheta
Então a integral vira:
I = integral0^2pi integral1^0 raizu cdot ( -du2 ) , dtheta = integral0^2pi integral0^1 raizu cdot du2 , dtheta
Agora, integramos em integral0^1 raizu , du = 23u^3/2 |0^1 = 23 . Fazendo a substituição I = integral0^2pi 23 cdot 12 , dtheta = 13 integral0^2pi dtheta = 13 cdot 2pi = 2pi3 , :
Calculando a integral em :
Então:

Resposta

I = 2pi3

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