Calcular
Onde
e a porção da esfera
que está dentro do cilindro
. Resp.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral tripla
. O enunciado fala que
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
. Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A esfera
é uma bola de raio 1 centrada na origem. O cilindro
tem raio 1 e é infinito ao longo do eixo
. A região que a gente quer é a parte da esfera que está dentro desse cilindro.
Passo 3
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessa mudança, a equação da esfera vira
e a do cilindro fica
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 1, já que estamos dentro do cilindro . -
varia de 0 a , cobrindo toda a volta. -
varia de a , conforme a equação da esfera.
Passo 5
A integral tripla fica:
Primeiro, integramos em
:
Então a integral vira:
Agora, integramos em
. Fazendo a substituição
,
:
Calculando a integral em
:
Então: