Calcular
Onde e a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral tripla . O enunciado fala que é a parte da esfera que está dentro do cilindro . Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A esfera é uma bola de raio 1 centrada na origem. O cilindro tem raio 1 e é infinito ao longo do eixo . A região que a gente quer é a parte da esfera que está dentro desse cilindro.

Passo 3

Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa mudança, a equação da esfera vira e a do cilindro fica .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 1, já que estamos dentro do cilindro .
  • varia de 0 a , cobrindo toda a volta.
  • varia de a , conforme a equação da esfera.

Passo 5

A integral tripla fica:
Primeiro, integramos em :
Então a integral vira:
Agora, integramos em . Fazendo a substituição , :
Calculando a integral em :
Então:

Resposta

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.
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