Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
A matéria aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir os valores das constantes na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, a gente encontra a equação característica associada, que é uma equação quadrática formada substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Vimos que a raiz quadrada dá um número imaginário, porque temos
. Podemos reescrever isso como:
Então, as soluções para
são:
Passo 5
Como temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Então, sabemos que
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda condição inicial
. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Agrupando termos:
Agora, aplicamos
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, a solução do problema é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Encontre a solução geral da equação diferencial.
,
Encontre a solução do problema de valor inicial.
.
Calcular
Onde
e a porção da esfera
que está dentro do cilindro
. Resp.