Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
A matéria aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir os valores das constantes na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, a gente encontra a equação característica associada, que é uma equação quadrática formada substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Substituindo:

Passo 4

Vimos que a raiz quadrada dá um número imaginário, porque temos . Podemos reescrever isso como:
Então, as soluções para são:

Passo 5

Como temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Então, sabemos que .

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Agrupando termos:
Agora, aplicamos :

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a solução do problema é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Encontre a solução geral da equação diferencial.
,
Encontre a solução do problema de valor inicial.
.
Calcular
Onde e a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.