Encontre a solução do problema de valor inicial. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e algumas condições iniciais. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é uma constante.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, vamos achar a equação característica dessa EDO. A equação característica de uma EDO da forma é:
No nosso caso, , então a equação característica fica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica para :
Aqui, é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial será:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :
Segunda condição: . Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Aplicando a segunda condição:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou matriz. Para simplificar, vamos multiplicar a segunda equação por :
Agora, temos:
Passo 8
Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Sabendo que , temos:
Factorizando :
Lembrando que :
Então:
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:
Simplificando:
Como , temos:
Passo 10
Finalmente, substituímos e na solução geral para obter a solução específica do problema de valor inicial:
Podemos fatorar e usar a identidade trigonométrica para simplificar: