Calcular a integral e estime o erro cometido em cada letra abaixo.
I=integral0^1 e^x cos x d x
b) Usando a regra de Simpson repetida e 6 subintervalos.
Resposta: 1.6484

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando a regra de Simpson repetida com 6 subintervalos. Para isso, vamos precisar entender a regra de Simpson, que é uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas. Ela utiliza parabolas para estimar a área sob a curva, oferecendo uma aproximação mais precisa do que métodos mais simples, como a regra dos trapézios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração e dividir o intervalo h = b - an = 1 - 06 = 16 em 6 subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo ( ) é dado por:
onde , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de avaliação xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 6 :
x0 = 0, x1 = 16, x2 = 26 = 13, x3 = 12, x4 = 46 = 23, x5 = 56, x6 = 1
Calculando cada :

Passo 4

A regra de Simpson repetida para múltiplos subintervalos é dada por:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumimpar i f(xi) + 2 sumpar i f(xi) + f(xn) ]
Vamos calcular cada termo necessário.

Passo 5

Primeiro, calculamos f(x0) &= e^0 cos 0 = 1 cdot 1 = 1 f(x1) &= e^16 cos (16) approx 1.1827 f(x2) &= e^13 cos (13) approx 1.4486 f(x3) &= e^12 cos (12) approx 2.1643 f(x4) &= e^23 cos (23) approx 2.3679 f(x5) &= e^56 cos (56) approx 2.2603 f(x6) &= e^1 cos 1 approx 1.4687 para cada ponto :

Passo 6

Agora, aplicamos os pesos da regra de Simpson:
h3 [ f(x0) + 4 sumimpar i f(xi) + 2 sumpar i f(xi) + f(x6) ]
Identificando índices:
  • Índices ímpares: 4 sumimpar i f(xi) = 4 (1.1827 + 2.1643 + 2.2603) = 4 times 5.6073 = 22.4292
  • Índices pares: 2 sumpar i f(xi) = 2 (1.4486 + 2.3679) = 2 times 3.8165 = 7.6330
Calculando as somas:

Passo 7

Substituindo na fórmula:
h3 [ 1 + 22.4292 + 7.6330 + 1.4687 ] = 163 times 32.5309 = 118 times 32.5309 approx 1.8062

Passo 8

Por fim, arredondamos o resultado para quatro casas decimais:
I approx 1.8062

Resposta

1.6484

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