Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
d) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra de Simpson Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de de 0 a 1. Como não dá pra achar uma primitiva desse lance, vamos usar a Regra de Simpson Repetida para aproximar o valor dessa integral. A missão aqui é descobrir quantos subintervalos ( ) a gente precisa usar para garantir que a aproximação tenha pelo menos 3 casas decimais corretas. Vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson e como calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra de Simpson Repetida. Ela é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função dividindo o intervalo de integração em subintervalos pares e aplicando uma fórmula que usa parabolas para estimar a área sob a curva. A fórmula geral da Regra de Simpson Repetida é:
í
onde e é o número de subintervalos (que tem que ser par).

Passo 3

Agora, para garantir que a aproximação tenha pelo menos 3 casas decimais corretas, precisamos analisar o erro da Regra de Simpson. O erro é dado por:
onde é um valor máximo do quarto derivado de no intervalo .

Passo 4

Vamos calcular o quarto derivado de . Derivando sucessivamente, encontramos:
Para encontrar o valor máximo de no intervalo , notamos que está sempre entre e . O termo polinomial atinge o seu máximo absoluto no intervalo em :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos garantir que o erro seja menor que (para ter pelo menos 3 casas decimais corretas):
Como tem que ser par, o menor valor inteiro par maior que 3,04 é 4.

Passo 6

No entanto, precisamos verificar se realmente atende ao critério de erro. Vamos calcular o erro com :
Como , já garante mais de 3 casas decimais corretas.
Entretanto, para assegurar uma precisão ainda maior e seguindo o enunciado que indica , vamos considerar como uma escolha segura.

Resposta

Exercícios relacionados

Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
c) A Regra de Simpson. Resposta: 0,74718 e
Calcular o valor da integral e o erro cometido para 4 subintervalos (usando a regra de Simpson Repetida).
Resposta: 23,6125 e .
Encontrar a melhor reta que ajusta os valores da tabela abaixo:
x 0,0 0,25 0,5 0,75 1,0
1,0 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
Resposta: .
Calcular a integral e estime o erro cometido em cada letra abaixo.
b) Usando a regra de Simpson repetida e 6 subintervalos.
Resposta: 1.6484