Vamos considerar a função
, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule
e o respectivo erro cometido, usando:
d) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra de Simpson Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:
d) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra de Simpson Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de
de 0 a 1. Como não dá pra achar uma primitiva desse lance, vamos usar a Regra de Simpson Repetida para aproximar o valor dessa integral. A missão aqui é descobrir quantos subintervalos (
) a gente precisa usar para garantir que a aproximação tenha pelo menos 3 casas decimais corretas. Vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson e como calcular o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra de Simpson Repetida. Ela é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função dividindo o intervalo de integração em subintervalos pares e aplicando uma fórmula que usa parabolas para estimar a área sob a curva. A fórmula geral da Regra de Simpson Repetida é:
onde
e
é o número de subintervalos (que tem que ser par).
Passo 3
Agora, para garantir que a aproximação tenha pelo menos 3 casas decimais corretas, precisamos analisar o erro da Regra de Simpson. O erro é dado por:
onde
é um valor máximo do quarto derivado de
no intervalo
.
Passo 4
Vamos calcular o quarto derivado de
. Derivando sucessivamente, encontramos:
Para encontrar o valor máximo de
no intervalo
, notamos que
está sempre entre
e
. O termo polinomial
atinge o seu máximo absoluto no intervalo em
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos garantir que o erro seja menor que
(para ter pelo menos 3 casas decimais corretas):
Como
tem que ser par, o menor valor inteiro par maior que 3,04 é 4.
Passo 6
No entanto, precisamos verificar se
realmente atende ao critério de erro. Vamos calcular o erro com
:
Como
,
já garante mais de 3 casas decimais corretas.
Entretanto, para assegurar uma precisão ainda maior e seguindo o enunciado que indica
, vamos considerar
como uma escolha segura.