Vamos considerar a função f(x)=e^-x^2, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule integral0^1 f(x) d x e o respectivo erro cometido, usando:
d) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra de Simpson Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta: n=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de de 0 a 1. Como não dá pra achar uma primitiva desse lance, vamos usar a Regra de Simpson Repetida para aproximar o valor dessa integral. A missão aqui é descobrir quantos subintervalos ( ) a gente precisa usar para garantir que a aproximação tenha pelo menos 3 casas decimais corretas. Vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson e como calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra de Simpson Repetida. Ela é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função dividindo o intervalo de integração em subintervalos pares e aplicando uma fórmula que usa parabolas para estimar a área sob a curva. A fórmula geral da Regra de Simpson Repetida é:
integrala^b f(x) dx approx Deí
onde e é o número de subintervalos (que tem que ser par).

Passo 3

Agora, para garantir que a aproximação tenha pelo menos 3 casas decimais corretas, precisamos analisar o erro da Regra de Simpson. O erro é dado por:
E <= M(b - a)^5180 n^4
onde é um valor máximo do quarto derivado de no intervalo .

Passo 4

Vamos calcular o quarto derivado de f'(x) = -2x e^-x^2 f''(x) = (4x^2 - 2) e^-x^2 f'''(x) = (-8x^3 + 12x) e^-x^2 f''''(x) = (16x^4 - 48x^2 + 12) e^-x^2 . Derivando sucessivamente, encontramos:
f''''(0) = (16(0)^4 - 48(0)^2 + 12) e^0 = 12
Para encontrar o valor máximo de no intervalo , notamos que está sempre entre e . O termo polinomial atinge o seu máximo absoluto no intervalo em :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos garantir que o erro seja menor que 12 times (1 - 0)^5180 n^4 < 0,0005 12180 n^4 < 0,0005 115 n^4 < 0,0005 15 n^4 > 10,0005 15 n^4 > 2000 n^4 > 200015 n^4 > 133,33 n > raiz[4]133,33 n > 3,04 (para ter pelo menos 3 casas decimais corretas):
Como tem que ser par, o menor valor inteiro par maior que 3,04 é 4.

Passo 6

No entanto, precisamos verificar se E <= 12180 times 4^4 = 12180 times 256 = 1246080 approx 0,00026 realmente atende ao critério de erro. Vamos calcular o erro com :
Como , já garante mais de 3 casas decimais corretas.
Entretanto, para assegurar uma precisão ainda maior e seguindo o enunciado que indica , vamos considerar como uma escolha segura.

Resposta

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