Encontrar a melhor reta que ajusta os valores da tabela abaixo:
x 0,0 0,25 0,5 0,75 1,0
f(x) 1,0 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
Resposta: alpha(x)=0,8997+1,7078 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a melhor reta que ajusta os valores da tabela fornecida. Isso se chama regressão linear, que é um método para determinar a relação entre duas variáveis. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a reta que melhor se encaixa nos pontos da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da tabela:
x 0,0 0,25 0,5 0,75 1,0
f(x) 1,0 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
Vamos chamar a reta que queremos encontrar de , onde é o intercepto e é o coeficiente angular.

Passo 3

Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
  • Soma de sum x &= 0,0 + 0,25 + 0,5 + 0,75 + 1,0 = 2,5 sum y &= 1,0 + 1,2840 + 1,6487 + 2,1170 + 2,7183 = 8,7670 sum xy &= (0,0 times 1,0) + (0,25 times 1,2840) + (0,5 times 1,6487) + (0,75 times 2,1170) + (1,0 times 2,7183) &= 0 + 0,3210 + 0,82435 + 1,58775 + 2,7183 &= 5,4514 sum x^2 &= (0,0)^2 + (0,25)^2 + (0,5)^2 + (0,75)^2 + (1,0)^2 &= 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1,0 &= 1,875 :
  • Soma de (que neste caso é ):
  • Soma de :
  • Soma de :
Vamos calcular cada uma delas:

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar b = n cdot sum xy - sum x cdot sum yn cdot sum x^2 - (sum x)^2 e a = sum y - b cdot sum xn :
b = 5 times 5,4514 - 2,5 times 8,76705 times 1,875 - (2,5)^2 = 27,257 - 21,91759,375 - 6,25 = 5,33953,125 approx 1,7086
a = 8,7670 - 1,7086 times 2,55 = 8,7670 - 4,27155 = 4,49555 approx 0,8991
Onde é o número de pontos, que aqui é 5.
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Resposta

A melhor reta que ajusta os valores da tabela é:
alpha(x) = 0,8991 + 1,7086 cdot x

Exercícios relacionados