Calcular a integral indefinida pelo método de decomposição em frações parciais. integral 5 d xx^3+4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para calcular a integral indefinida de 5x^3+4x em relação a x. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de decomposição em frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e então separar a fração em partes mais simples que conseguimos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 4x. Observa que podemos colocar um x em evidência:
x^3 + 4x = x(x^2 + 4)
Então, a fração fica:
5x^3 + 4x = 5x(x^2 + 4)

Passo 3

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever 5x(x^2 + 4) como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem um fator linear ( x) e um fator quadrático irreduzível ( x^2 + 4), a decomposição será:
5x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão x(x^2 + 4) para eliminar os denominadores:
5 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x
Simplificando:
5 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x
Agrupando os termos semelhantes:
5 = (A + B) x^2 + C x + 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos equivalentes dos dois lados da equação:
  • Para x^2: A + B = 0
  • Para x: C = 0
  • Para o termo constante: 4A = 5
Resolvendo essas equações:
  1. De 4A = 5, temos A = 54.
  2. De A + B = 0, substituindo A: 54 + B = 0 implies B = -54
  3. Já sabemos que C = 0.

Passo 6

Com os valores de A, B e C encontrados, nossa decomposição fica:
5x(x^2 + 4) = 54x + -54xx^2 + 4
Podemos simplificar colocando os coeficientes fora das frações:
54 cdot 1x - 54 cdot xx^2 + 4

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integra de 1x:
    integral 1x dx = ln|x|
  2. Integra de xx^2 + 4:
    Usamos a substituição u = x^2 + 4, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx. Assim,
    integral xx^2 + 4 dx = 12 ln|x^2 + 4|

Passo 8

Juntando tudo, a integral fica:
54 ln|x| - 54 cdot 12 ln|x^2 + 4| + C
Simplificando os coeficientes:
54 ln|x| - 58 ln|x^2 + 4| + C

Resposta

A integral indefinida é:
54 ln|x| - 58 ln|x^2 + 4| + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine o domínio das seguintes funções:
z) y = 1/x - x/(x^2 + x + 1)
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(b) f(x) = x^3 - 3x;
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
© f(x) = cos(x^2 + 2x + tg(x))^3,
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(g) f(x) = raiz3(x^2 * cos^2(pi x)),