Calcular a integral indefinida pelo método de decomposição em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de decomposição em frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e então separar a fração em partes mais simples que conseguimos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observa que podemos colocar um
em evidência:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever
como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem um fator linear (
) e um fator quadrático irreduzível (
), a decomposição será:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos equivalentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
- De
, temos . - De
, substituindo : - Já sabemos que
.
Passo 6
Com os valores de
,
e
encontrados, nossa decomposição fica:
Podemos simplificar colocando os coeficientes fora das frações:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
Integra de
: -
Integra de
:
Usamos a substituição, então , ou seja, . Assim,
Passo 8
Juntando tudo, a integral fica:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral indefinida é:
Onde
é a constante de integração.
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Determine o domínio das seguintes funções:
z)
z)
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(b) ;
(b)
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© ,
©
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(g) ,
(g)