Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_n = e^(1/n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite de sequências, que é uma ferramenta básica em cálculo para entender o comportamento de uma sequência quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão quando cresce. Conforme aumenta, diminui e se aproxima de 0. Matemática, quando dizemos que uma sequência tende a 0, escrevemos isso como:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora que sabemos que tende a 0, vamos ver o que acontece com . A função exponencial é contínua, o que significa que podemos passar o limite para dentro da função. Então:
Sabemos que , porque qualquer número elevado a 0 é 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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