Calcular a integral integral0^pi2 integral0^a sen theta r^2 d r d theta Rp a: 29 a^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! O enunciado pede pra calcular a integral . A matéria que envolve isso é o cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Isso significa que estamos integrando em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Para integrar integral r^n , dr = r^n+1n+1 + C em relação a integral r^2 , dr = r^33 + C , usamos a regra básica da integral de potências:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora aplicamos os limites de r^33 |0^a sin theta = (a sin theta)^33 - 0^33 = a^3 sin^3 theta3 a :
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi2 a^3 sin^3 theta3 , dtheta = a^33 integral0^pi2 sin^3 theta , dtheta
Aqui, ficamos com uma integral que envolve .

Passo 6

Para integrar integral sin^n theta , dtheta = -sin^n-1 theta cos thetan + n-1n integral sin^n-2 theta , dtheta , usamos a fórmula de redução para potências ímpares de seno:
integral sin^3 theta , dtheta = -sin^2 theta cos theta3 + 23 integral sin theta , dtheta
No nosso caso, :

Passo 7

Integrando integral sin theta , dtheta = -cos theta + C :
integral sin^3 theta , dtheta = -sin^2 theta cos theta3 - 23 cos theta + C
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Aplicando os limites de [ -sin^2 theta cos theta3 - 23 cos theta ]0^pi2 = ( 0 - 23 cdot 0 ) - ( 0 - 23 cdot 1 ) = 23 a :
Portanto, .

Passo 9

Voltando à integral original:
a^33 cdot 23 = 2 a^39

Resposta

O valor da integral é .

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