Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! O enunciado pede pra calcular a integral . A matéria que envolve isso é o cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Isso significa que estamos integrando em relação a , mantendo constante.
Passo 3
Para integrar em relação a , usamos a regra básica da integral de potências:
Aqui, , então:
Passo 4
Agora aplicamos os limites de a :
Então, a integral interna simplifica para .
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Aqui, ficamos com uma integral que envolve .
Passo 6
Para integrar , usamos a fórmula de redução para potências ímpares de seno: