Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! O enunciado pede pra calcular a integral . A matéria que envolve isso é o cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Isso significa que estamos integrando em relação a , mantendo constante.
Passo 3
Para integrar em relação a , usamos a regra básica da integral de potências:
Aqui, , então:
Passo 4
Agora aplicamos os limites de a :
Então, a integral interna simplifica para .
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Para integrar integral sin^n theta , dtheta = -sin^n-1 theta cos thetan + n-1n integral sin^n-2 theta , dtheta , usamos a fórmula de redução para potências ímpares de seno:
integral sin^3 theta , dtheta = -sin^2 theta cos theta3 + 23 integral sin theta , dtheta
No nosso caso, :
Passo 7
Integrando integral sin theta , dtheta = -cos theta + C :
integral sin^3 theta , dtheta = -sin^2 theta cos theta3 - 23 cos theta + C
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Aplicando os limites de [ -sin^2 theta cos theta3 - 23 cos theta ]0^pi2 = ( 0 - 23 cdot 0 ) - ( 0 - 23 cdot 1 ) = 23 a :