Calcular a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas! O enunciado pede pra calcular a integral . A matéria que envolve isso é o cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Isso significa que estamos integrando em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Para integrar em relação a , usamos a regra básica da integral de potências:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora aplicamos os limites de a :
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Aqui, ficamos com uma integral que envolve .

Passo 6

Para integrar , usamos a fórmula de redução para potências ímpares de seno:
No nosso caso, :

Passo 7

Integrando :
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Aplicando os limites de a :
Portanto, .

Passo 9

Voltando à integral original:

Resposta

O valor da integral é .

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