Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
. A gente está lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma variável nova, facilitaria a integração. Olha só: dentro do seno, temos
. Então, vamos chamar essa parte de
.
Substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos ajudará a substituir
na integral.
Derivando
:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos substituir essas expressões na integral original. Onde encontramos
, colocamos
, e
vira
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, a integral está muito mais simples:
. Vamos resolver essa integral básica.
Integrando
:
Aqui,
é a constante de integração, que sempre colocamos no final.
Passo 6
Por último, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos
de volta.
Voltando para
:
Resposta
Então, a integral de
é:
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