Calcule as integrais: integral sen(sen(x)) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de sin(sin(x)) cos(x) , dx. A gente está lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma variável nova, facilitaria a integração. Olha só: dentro do seno, temos sin(x). Então, vamos chamar essa parte de u.
Substituição:
u = sin(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que nos ajudará a substituir dx na integral.
Derivando u:
dudx = cos(x)
Isso significa que:
du = cos(x) , dx

Passo 4

Vamos substituir essas expressões na integral original. Onde encontramos sin(x), colocamos u, e cos(x) , dx vira du.
Substituindo na integral:
integral sin(sin(x)) cos(x) , dx = integral sin(u) , du

Passo 5

Agora, a integral está muito mais simples: integral sin(u) , du. Vamos resolver essa integral básica.
Integrando sin(u):
integral sin(u) , du = -cos(u) + C
Aqui, C é a constante de integração, que sempre colocamos no final.

Passo 6

Por último, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que u = sin(x), substituímos u de volta.
Voltando para x:
-cos(u) + C = -cos(sin(x)) + C

Resposta

Então, a integral de sin(sin(x)) cos(x) , dx é:
-cos(sin(x)) + C

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