Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de . A gente está lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma variável nova, facilitaria a integração. Olha só: dentro do seno, temos . Então, vamos chamar essa parte de .
Substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos ajudará a substituir na integral.
Derivando :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir essas expressões na integral original. Onde encontramos , colocamos , e vira .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, a integral está muito mais simples: . Vamos resolver essa integral básica.
Integrando :
Aqui, é a constante de integração, que sempre colocamos no final.

Passo 6

Por último, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta.
Voltando para :

Resposta

Então, a integral de é:

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