Calcular a integral integralc f cdot d r onde f é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A(1,1,0) ao B(1,2,-1).
a) f=(sen x+2 y) i+(2 x+cos z) j+(z-y sen z) k
b) f=(e^x+e^2^2) i+(e^y+z) j+(2 x z e^z^2+y) k
c) f=(2 x^2 y+y^2+z) i+(23 x^3+2 x y+z^2) j+(x+2 y z) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha para diferentes campos vetoriais ao longo de qualquer caminho que liga o ponto ao ponto . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos. Vamos ver como resolver isso passo a passo para cada item: a), b) e c).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral de linha mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de um caminho . Se o campo for conservativo, ou seja, se existir uma função potencial tal que , a integral de linha depende só dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso simplifica bastante nossos cálculos!

Passo 3

Vamos começar com o item a):
f = (sin x + 2y) i + (2x + cos z) j + (z - y sin z) k
Primeiro, precisamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, vamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Se forem, o campo é conservativo.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial fxpartial y = 2, partial fypartial x = 2
partial fxpartial z = 0, partial fzpartial x = 0
partial fypartial z = -sin z, partial fzpartial y = -sin z
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial partial Fpartial x = sin x + 2y tal que partial Fpartial y = 2x + cos z . Isso significa:
partial Fpartial z = z - y sin z
F(x,y,z) = -cos x + 2xy + g(y,z)
partial Fpartial y = 2x + partial gpartial y = 2x + cos z
Vamos integrar a primeira equação em relação a partial gpartial y = cos z :
g(y,z) = y cos z + h(z)
Agora, derivamos F(x,y,z) = -cos x + 2xy + y cos z + h(z) em relação a partial Fpartial z = -y sin z + h'(z) = z - y sin z e igualamos à segunda equação:
h'(z) = z implies h(z) = z^22 + C
Então,
F(x,y,z) = -cos x + 2xy + y cos z + z^22
Integrando em relação a :
Agora, substituímos na expressão de :
Derivando em relação a e igualando à terceira equaç��o:
Logo,
Então, a função potencial é:

Passo 6

Agora, para calcular a integral de linha, basta calcular a diferença da função potencial nos pontos integralc f cdot d r = F(B) - F(A) e F(1,1,0) = -cos(1) + 2(1)(1) + 1 cdot cos(0) + 0^22 = -cos(1) + 2 + 1 + 0 = 3 - cos(1) :
F(1,2,-1) = -cos(1) + 2(1)(2) + 2 cdot cos(-1) + (-1)^22 = -cos(1) + 4 + 2cos(1) + 12 = cos(1) + 4 + 12 = cos(1) + 4.5
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, a integral fica:
integralc f cdot d r = (cos(1) + 4.5) - (3 - cos(1)) = 2cos(1) + 1.5

Passo 8

Vamos repetir o mesmo processo para o item b):
f = (e^x + e^2^2) i + (e^y + z) j + (2xz e^z^2 + y) k
Primeiro, verificamos se o campo é conservativo.

Passo 9

Calculando as derivadas parciais:
partial fxpartial y = 0, partial fypartial x = 0
partial fxpartial z = 0, partial fzpartial x = 2z e^z^2
partial fypartial z = 1, partial fzpartial y = 1
Observamos que todas as derivadas cruzadas são iguais, então o campo é conservativo.

Passo 10

Encontrando a função potencial partial Fpartial x = e^x + e^4 implies F = e^x + e^4x + g(y,z) :
partial Fpartial y = partial gpartial y = e^y + z implies g(y,z) = e^y + yz + h(z)
Derivando F = e^x + e^4x + e^y + yz + h(z) em relação a partial Fpartial z = y + h'(z) = 2xz e^z^2 + y e igualando à segunda componente:
h'(z) = 2xz e^z^2 implies h(z) = x e^z^2 + C
Agora, substituindo na expressão de :
Derivando em relação a e igualando à terceira componente:
Então,
Mas aqui temos um problema: a função depende de , o que não deveria acontecer. Isso indica que o campo b) não é conservativo, pois não conseguimos encontrar uma função potencial que depende apenas de de forma independente.

Passo 11

Como o campo b) não é conservativo, a integral de linha depende do caminho escolhido entre e . Portanto, não é possível determinar um valor único para a integral sem especificar o caminho.

Passo 12

Finalmente, vamos resolver o item c):
f = (2x^2y + y^2 + z) i + (23x^3 + 2xy + z^2) j + (x + 2yz) k
Primeiro, verificamos se o campo é conservativo.

Passo 13

Calculando as derivadas parciais:
partial fxpartial y = 2x^2 + 2y, partial fypartial x = 2x^2 + 2y
partial fxpartial z = 1, partial fzpartial x = 1
partial fypartial z = 2z, partial fzpartial y = 2z
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 14

Encontrando a função potencial partial Fpartial x = 2x^2y + y^2 + z implies F = 23x^3y + y^2x + zx + g(y,z) :
partial Fpartial y = 23x^3 + 2yx + partial gpartial y = 23x^3 + 2xy + z^2
Derivando partial gpartial y = z^2 implies g(y,z) = yz^2 + h(z) em relação a F = 23x^3y + y^2x + zx + yz^2 + h(z) e igualando à segunda componente:
partial Fpartial z = x + 2yz + h'(z) = x + 2yz
Então,
h'(z) = 0 implies h(z) = C
Substituindo em F(x,y,z) = 23x^3y + y^2x + zx + yz^2 :
Derivando em relação a e igualando à terceira componente:
Logo,
Então, a função potencial é:

Passo 15

Agora, calculamos a integral de linha usando a função potencial:
integralc f cdot d r = F(B) - F(A)
Calculando F(1,1,0) = 23(1)^3(1) + (1)^2(1) + (1)(0) + (1)(0)^2 = 23 + 1 + 0 + 0 = 53 e F(1,2,-1) = 23(1)^3(2) + (2)^2(1) + (1)(-1) + (2)(-1)^2 = 43 + 4 -1 + 2 = 43 + 5 = 193 :
Para :
Para :

Resposta

a) A integral de linha é .
b) O campo não é conservativo, então não é possível determinar a integral sem especificar o caminho.
c) A integral de linha é .

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