Calcular a integral
onde
é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto
ao
.
a)
b)
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha
para diferentes campos vetoriais
ao longo de qualquer caminho que liga o ponto
ao ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos. Vamos ver como resolver isso passo a passo para cada item: a), b) e c).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral de linha
mede o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover um objeto ao longo de um caminho
. Se o campo
for conservativo, ou seja, se existir uma função potencial
tal que
, a integral de linha depende só dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso simplifica bastante nossos cálculos!
Passo 3
Vamos começar com o item a):
Primeiro, precisamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, vamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Se forem, o campo é conservativo.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Então,
Integrando em relação a
:
Agora, substituímos na expressão de
:
Derivando
em relação a
e igualando à terceira equaç��o:
Logo,
Então, a função potencial é:
Passo 6
Agora, para calcular a integral de linha, basta calcular a diferença da função potencial nos pontos
e
:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos repetir o mesmo processo para o item b):
Primeiro, verificamos se o campo é conservativo.
Passo 9
Calculando as derivadas parciais:
Observamos que todas as derivadas cruzadas são iguais, então o campo é conservativo.
Passo 10
Encontrando a função potencial
:
Derivando
em relação a
e igualando à segunda componente:
Agora, substituindo na expressão de
:
Derivando
em relação a
e igualando à terceira componente:
Então,
Mas aqui temos um problema: a função
depende de
, o que não deveria acontecer. Isso indica que o campo b) não é conservativo, pois não conseguimos encontrar uma função potencial que depende apenas de
de forma independente.
Passo 11
Como o campo b) não é conservativo, a integral de linha
depende do caminho escolhido entre
e
. Portanto, não é possível determinar um valor único para a integral sem especificar o caminho.
Passo 12
Finalmente, vamos resolver o item c):
Primeiro, verificamos se o campo é conservativo.
Passo 13
Calculando as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.
Passo 14
Encontrando a função potencial
:
Derivando
em relação a
e igualando à segunda componente:
Então,
Substituindo em
:
Derivando
em relação a
e igualando à terceira componente:
Logo,
Então, a função potencial é:
Passo 15
Agora, calculamos a integral de linha usando a função potencial:
Calculando
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
a) A integral de linha é
.
b) O campo não é conservativo, então não é possível determinar a integral sem especificar o caminho.
c) A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e
existem em
, então
é diferenciável em
.
(g) Se as derivadas parciais
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais
e
no ponto
, então
é contínua em
.
(d) Se
Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(d)
(d)
Calcular
, ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde
e
;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
a) circunferência de centro
b)
c) poligonal
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.