Calcular a integral onde é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto ao .
a)
b)
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha para diferentes campos vetoriais ao longo de qualquer caminho que liga o ponto ao ponto . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos. Vamos ver como resolver isso passo a passo para cada item: a), b) e c).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral de linha mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto ao longo de um caminho . Se o campo for conservativo, ou seja, se existir uma função potencial tal que , a integral de linha depende só dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso simplifica bastante nossos cálculos!

Passo 3

Vamos começar com o item a):
Primeiro, precisamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, vamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Se forem, o campo é conservativo.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Então,
Integrando em relação a :
Agora, substituímos na expressão de :
Derivando em relação a e igualando à terceira equaç��o:
Logo,
Então, a função potencial é:

Passo 6

Agora, para calcular a integral de linha, basta calcular a diferença da função potencial nos pontos e :
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos repetir o mesmo processo para o item b):
Primeiro, verificamos se o campo é conservativo.

Passo 9

Calculando as derivadas parciais:
Observamos que todas as derivadas cruzadas são iguais, então o campo é conservativo.

Passo 10

Encontrando a função potencial :
Derivando em relação a e igualando à segunda componente:
Agora, substituindo na expressão de :
Derivando em relação a e igualando à terceira componente:
Então,
Mas aqui temos um problema: a função depende de , o que não deveria acontecer. Isso indica que o campo b) não é conservativo, pois não conseguimos encontrar uma função potencial que depende apenas de de forma independente.

Passo 11

Como o campo b) não é conservativo, a integral de linha depende do caminho escolhido entre e . Portanto, não é possível determinar um valor único para a integral sem especificar o caminho.

Passo 12

Finalmente, vamos resolver o item c):
Primeiro, verificamos se o campo é conservativo.

Passo 13

Calculando as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 14

Encontrando a função potencial :
Derivando em relação a e igualando à segunda componente:
Então,
Substituindo em :
Derivando em relação a e igualando à terceira componente:
Logo,
Então, a função potencial é:

Passo 15

Agora, calculamos a integral de linha usando a função potencial:
Calculando e :
Para :
Para :

Resposta

a) A integral de linha é .
b) O campo não é conservativo, então não é possível determinar a integral sem especificar o caminho.
c) A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em .
Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(d)
Calcular , ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde e ;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.