Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é diferenciável no domínio . Pra isso, vamos usar o Lema Fundamental, que basicamente diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e verificar se elas são contínuas no domínio .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no domínio . Observando as expressões das derivadas parciais, vemos que:
  • O numerador envolve funções exponenciais e polinomiais, que são contínuas em todo .
  • O denominador é sempre positivo no domínio (já que ), e também é contínuo.
Como o quociente de funções contínuas é contínuo (desde que o denominador não seja zero, o que já garantimos no domínio ), concluímos que ambas as derivadas parciais são contínuas em .

Passo 5

De acordo com o Lema Fundamental, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável naquele ponto. Já mostramos que as derivadas parciais de em relação a e existem e são contínuas em todo o domínio .

Resposta

Portanto, usando o Lema Fundamental, concluímos que a função é diferenciável no domínio .

Exercícios relacionados

Calcular a integral onde é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto ao .
a)
b)
c) .
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .
Calcular , ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde e ;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
©