Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é diferenciável no domínio
. Pra isso, vamos usar o Lema Fundamental, que basicamente diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se elas são contínuas no domínio
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no domínio
. Observando as expressões das derivadas parciais, vemos que:
- O numerador envolve funções exponenciais e polinomiais, que são contínuas em todo
. - O denominador
é sempre positivo no domínio (já que ), e também é contínuo.
Como o quociente de funções contínuas é contínuo (desde que o denominador não seja zero, o que já garantimos no domínio
), concluímos que ambas as derivadas parciais são contínuas em
.
Passo 5
De acordo com o Lema Fundamental, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável naquele ponto. Já mostramos que as derivadas parciais de
em relação a
e
existem e são contínuas em todo o domínio
.
Resposta
Portanto, usando o Lema Fundamental, concluímos que a função
é diferenciável no domínio
.