Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se
tem derivadas parciais
e
no ponto
, então
é contínua em
.
(d) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
tem derivadas parciais
e
no ponto
, então
é contínua em
". Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender o que significa ter derivadas parciais e como isso se relaciona com a continuidade da função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. As derivadas parciais
e
representam as taxas de variação da função
em relação a
e
, respectivamente, mantendo a outra variável constante. Matematicamente, elas são definidas como:
Ter essas derivadas no ponto
significa que esses limites existem nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. A função
é contínua no ponto
se o seguinte for verdadeiro:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de
, o valor de
se aproxima de
.
Passo 4
Uma pergunta importante aqui é: ter derivadas parciais em um ponto implica que a função é contínua nesse ponto? Em cálculo, sabemos que a existência de derivadas parciais não garante necessariamente a continuidade da função nesse ponto. Embora as derivadas forneçam informações sobre o comportamento da função em direções específicas, a continuidade exige que a função se comporte de maneira consistente de todas as direções.
Passo 5
Para ilustrar isso, considere a função:
Essa função tem derivadas parciais
e
no ponto
, mas não é contínua nesse ponto, porque o limite de
quando
se aproxima de
não existe de forma consistente.
Resposta
A afirmação é falsa. Ter derivadas parciais em um ponto não garante que a função seja contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em
, então as derivadas parciais
e
existem em
.
(a) Se
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e
existem em
, então
é diferenciável em
.
(g) Se as derivadas parciais
Calcular a integral
onde
é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto
ao
.
a)
b)
c) .
a)
b)
c)