Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em ". Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender o que significa ter derivadas parciais e como isso se relaciona com a continuidade da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. As derivadas parciais e representam as taxas de variação da função em relação a e , respectivamente, mantendo a outra variável constante. Matematicamente, elas são definidas como:
Ter essas derivadas no ponto significa que esses limites existem nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. A função é contínua no ponto se o seguinte for verdadeiro:
Isso significa que, à medida que se aproxima de , o valor de se aproxima de .

Passo 4

Uma pergunta importante aqui é: ter derivadas parciais em um ponto implica que a função é contínua nesse ponto? Em cálculo, sabemos que a existência de derivadas parciais não garante necessariamente a continuidade da função nesse ponto. Embora as derivadas forneçam informações sobre o comportamento da função em direções específicas, a continuidade exige que a função se comporte de maneira consistente de todas as direções.

Passo 5

Para ilustrar isso, considere a função:
Essa função tem derivadas parciais e no ponto , mas não é contínua nesse ponto, porque o limite de quando se aproxima de não existe de forma consistente.

Resposta

A afirmação é falsa. Ter derivadas parciais em um ponto não garante que a função seja contínua nesse ponto.

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, sendo e a elipse , .
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .
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(g) Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .
Calcular a integral onde é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto ao .
a)
b)
c) .