Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais
e
existem em
, então
é diferenciável em
.
(g) Se as derivadas parciais
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está perguntando. O enunciado diz: “Se as derivadas parciais
e
existem em
, então
é diferenciável em
.” Aqui, estamos falando sobre cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e diferenciabilidade, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. As derivadas parciais
e
representam as taxas de variação de
em relação a
e
, respectivamente, mantendo a outra variável constante. Ou seja,
é a derivada de
em relação a
com
fixo, e
é a derivada de
em relação a
com
fixo.
Passo 3
Agora, diferenciabilidade de uma função em um ponto significa que a função pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Mais formalmente,
é diferenciável em
se existir uma aproximação linear que descreve bem o comportamento de
perto de
.
Passo 4
A afirmação do exercício sugere que a existência das derivadas parciais é suficiente para garantir que
seja diferenciável em
. No entanto, isso nem sempre é verdade. Embora a existência das derivadas parciais seja uma condição necessária para a diferenciabilidade, ela não é suficiente por si só.
Passo 5
Para ilustrar isso, podemos considerar um exemplo famoso. Vamos definir uma função
da seguinte forma:
As derivadas parciais de
no ponto
existem, mas
não é diferenciável nesse ponto. Isso acontece porque, apesar das derivadas parciais existirem, a função não pode ser bem aproximada por uma função linear perto de
.
Resposta
Falso. A existência das derivadas parciais em
não garante que
seja diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais
e
no ponto
, então
é contínua em
.
(d) Se
Calcular a integral
onde
é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto
ao
.
a)
b)
c) .
a)
b)
c)
Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(d)
(d)