Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está perguntando. O enunciado diz: “Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .” Aqui, estamos falando sobre cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e diferenciabilidade, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. As derivadas parciais e representam as taxas de variação de em relação a e , respectivamente, mantendo a outra variável constante. Ou seja, é a derivada de em relação a com fixo, e é a derivada de em relação a com fixo.

Passo 3

Agora, diferenciabilidade de uma função em um ponto significa que a função pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Mais formalmente, é diferenciável em se existir uma aproximação linear que descreve bem o comportamento de perto de .

Passo 4

A afirmação do exercício sugere que a existência das derivadas parciais é suficiente para garantir que seja diferenciável em . No entanto, isso nem sempre é verdade. Embora a existência das derivadas parciais seja uma condição necessária para a diferenciabilidade, ela não é suficiente por si só.

Passo 5

Para ilustrar isso, podemos considerar um exemplo famoso. Vamos definir uma função da seguinte forma:
As derivadas parciais de no ponto existem, mas não é diferenciável nesse ponto. Isso acontece porque, apesar das derivadas parciais existirem, a função não pode ser bem aproximada por uma função linear perto de .

Resposta

Falso. A existência das derivadas parciais em não garante que seja diferenciável em .

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(d) Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em .
, sendo e a elipse , .
Calcular a integral onde é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto ao .
a)
b)
c) .
Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(d)