Calcular integralc[xraizx^2+y^2 d x+yraizx^2+y^2 d y], ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti-horário;
b) r(t)=(t, 1 / t), t in[1,4];
c) poligonal A B C onde A(1,1), B(3,3) e C(4,1 / 4);
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha da seguinte forma:
integralc[xraizx^2+y^2 , dx + yraizx^2+y^2 , dy],
ao longo de quatro caminhos diferentes. A matéria aqui envolve integrais de linha e campos vetoriais conservativos. Vamos precisar entender se a função que estamos integrando é derivada de uma função potencial, ou seja, se é um campo conservativo. Isso vai nos ajudar a simplificar os cálculos.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a letra a): calcular a integral ao longo de uma circunferência de centro (2,0) e raio 1, no sentido anti-horário.
Primeiro, percebemos que o integrando pode ser simplificado. Note que:
xraizx^2+y^2 , dx + yraizx^2+y^2 , dy = d(raizx^2 + y^2)
Isso significa que a integral de linha é igual à diferença da função raizx^2 + y^2 entre os pontos finais e iniciais do caminho. Mas como estamos lidando com uma circunferência fechada, o ponto inicial é igual ao final.
Então, a integral fica:
raizx^2 + y^2 |inicial^final = 0
Resposta da letra a): 0

Passo 3

Agora, vamos para a letra b): calcular a integral ao longo do caminho definido por r(t) = (t, 1t), onde t in [1,4].
Como já identificamos que o integrando é a derivada de raizx^2 + y^2, a integral de linha entre dois pontos é simplesmente a diferença dessa função nos pontos finais.
Os pontos são:
  • Quando t = 1: (1, 1)
  • Quando t = 4: (4, 14)
Calculando raizx^2 + y^2 em cada ponto:
raiz1^2 + 1^2 = raiz2
raiz4^2 + (14)^2 = raiz16 + 116 = raiz25616 + 116 = raiz25716 = raiz2574
Então, a integral é:
raiz2574 - raiz2
Resposta da letra b): raiz2574 - raiz2

Passo 4

Seguimos para a letra c): calcular a integral ao longo da poligonal ABC, onde A(1,1), B(3,3) e C(4,14).
Como a integral depende apenas dos pontos inicial e final devido ao campo conservativo, não importa o caminho tomado entre eles. Então, podemos aplicar a mesma lógica da letra b).
Pontos iniciais e finais são:
  • Inicial: A(1,1)
  • Final: C(4,14)
Calculando a diferença:
raiz4^2 + (14)^2 - raiz1^2 + 1^2 = raiz2574 - raiz2
Resposta da letra c): raiz2574 - raiz2

Passo 5

Por último, vamos para a letra d): calcular a integral ao longo de uma circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
Novamente, observamos que o integrando é a derivada de raizx^2 + y^2. Em uma circunferência fechada, o ponto inicial é igual ao final, então:
raizx^2 + y^2 |inicial^final = 0
Mesmo que a circunferência enclose a origem, a função raizx^2 + y^2 é contínua e bem definida em todo o caminho, o que garante que a integral seja zero.
Resposta da letra d): 0

Resposta

a) 0
b) dfracraiz2574 - raiz2
c) dfracraiz2574 - raiz2
d) 0

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