Calcular , ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde e ;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha da seguinte forma:
ao longo de quatro caminhos diferentes. A matéria aqui envolve integrais de linha e campos vetoriais conservativos. Vamos precisar entender se a função que estamos integrando é derivada de uma função potencial, ou seja, se é um campo conservativo. Isso vai nos ajudar a simplificar os cálculos.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a letra a): calcular a integral ao longo de uma circunferência de centro e raio , no sentido anti-horário.
Primeiro, percebemos que o integrando pode ser simplificado. Note que:
Isso significa que a integral de linha é igual à diferença da função entre os pontos finais e iniciais do caminho. Mas como estamos lidando com uma circunferência fechada, o ponto inicial é igual ao final.
Então, a integral fica:
Resposta da letra a):
Passo 3
Agora, vamos para a letra b): calcular a integral ao longo do caminho definido por , onde .
Como já identificamos que o integrando é a derivada de , a integral de linha entre dois pontos é simplesmente a diferença dessa função nos pontos finais.
Os pontos são:
Quando :
Quando :
Calculando em cada ponto:
Então, a integral é:
Resposta da letra b):
Passo 4
Seguimos para a letra c): calcular a integral ao longo da poligonal , onde , e .
Como a integral depende apenas dos pontos inicial e final devido ao campo conservativo, não importa o caminho tomado entre eles. Então, podemos aplicar a mesma lógica da letra b).
Pontos iniciais e finais são:
Inicial:
Final:
Calculando a diferença:
Resposta da letra c):
Passo 5
Por último, vamos para a letra d): calcular a integral ao longo de uma circunferência de centro na origem e raio , no sentido anti-horário.
Novamente, observamos que o integrando é a derivada de . Em uma circunferência fechada, o ponto inicial é igual ao final, então:
Mesmo que a circunferência enclose a origem, a função é contínua e bem definida em todo o caminho, o que garante que a integral seja zero.