Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
b)
é o quadrado de vértices
e
;
b)
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é o contorno de um quadrado com vértices em
e
, percorrido no sentido anti-horário. Além disso, precisamos decidir se vale a pena usar o Teorema de Green para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma integral de linha envolvendo um campo vetorial
. O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região limitada pelo contorno. Então, identificar se podemos usar esse teorema aqui é essencial para simplificar nossos cálculos.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Green, o campo vetorial precisa ser bem comportado (ou seja, suas componentes devem ter derivadas parciais contínuas) e a região considerada deve ser simples e sem furos. No nosso caso, o quadrado é uma região simples e as funções
e
possuem derivadas contínuas. Portanto, é conveniente usar o Teorema de Green aqui.
Passo 4
O Teorema de Green diz que:
Onde
e
. Isso significa que, em vez de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular uma integral dupla sobre a área
do quadrado.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral dupla
. Vamos analisar cada termo separadamente:
-
: Isso representa a área do quadrado. -
: Devido à simetria do quadrado em relação ao eixo x, essa integral será zero, já que para cada positivo há um negativo que cancela.
Passo 8
Calculando a área do quadrado:
Os vértices são
,
,
e
. A distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo, entre
e
, é
. Como o quadrado tem todos os lados iguais, a área é:
Passo 9
Como vimos, a segunda parte da integral dupla é zero, então:
Resposta
A integral de linha
vale 8.