Calcular a integral , percorrendo no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
b) é o quadrado de vértices e ;

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral de linha , onde é o contorno de um quadrado com vértices em e , percorrido no sentido anti-horário. Além disso, precisamos decidir se vale a pena usar o Teorema de Green para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma integral de linha envolvendo um campo vetorial . O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região limitada pelo contorno. Então, identificar se podemos usar esse teorema aqui é essencial para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, o campo vetorial precisa ser bem comportado (ou seja, suas componentes devem ter derivadas parciais contínuas) e a região considerada deve ser simples e sem furos. No nosso caso, o quadrado é uma região simples e as funções e possuem derivadas contínuas. Portanto, é conveniente usar o Teorema de Green aqui.

Passo 4

O Teorema de Green diz que:
Onde e . Isso significa que, em vez de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular uma integral dupla sobre a área do quadrado.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral dupla . Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. : Isso representa a área do quadrado.
  2. : Devido à simetria do quadrado em relação ao eixo x, essa integral será zero, já que para cada positivo há um negativo que cancela.

Passo 8

Calculando a área do quadrado:
Os vértices são , , e . A distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo, entre e , é . Como o quadrado tem todos os lados iguais, a área é:
Á

Passo 9

Como vimos, a segunda parte da integral dupla é zero, então:

Resposta

A integral de linha vale 8.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é o quadrado de vértices e , orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Seja .
Seja a curva obtida como interseção da superfície com o plano . Calcule , especificando a orientação escolhida.
Calcule
c) , sendo a fronteira do retângulo orientada no sentido anti-horário .
Calcule
b) , sendo a circunferência , percorrida no sentido anti-horário.