Calcular a integral integralgamma y^2 d x+x d y, percorrendo gamma no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
b) gamma é o quadrado de vértices ( pm 2,0) e (0, pm 2);

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma y^2 , dx + x , dy, onde gamma é o contorno de um quadrado com vértices em (pm 2,0) e (0, pm 2), percorrido no sentido anti-horário. Além disso, precisamos decidir se vale a pena usar o Teorema de Green para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma integral de linha envolvendo um campo vetorial F = (y^2, x). O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região limitada pelo contorno. Então, identificar se podemos usar esse teorema aqui é essencial para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, o campo vetorial precisa ser bem comportado (ou seja, suas componentes devem ter derivadas parciais contínuas) e a região considerada deve ser simples e sem furos. No nosso caso, o quadrado é uma região simples e as funções y^2 e x possuem derivadas contínuas. Portanto, é conveniente usar o Teorema de Green aqui.

Passo 4

O Teorema de Green diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde P = y^2 e Q = x. Isso significa que, em vez de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular uma integral dupla sobre a área D do quadrado.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial y^2partial y = 2y

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
ointgamma y^2 , dx + x , dy = integral duplaD ( 1 - 2y ) , dA

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD (1 - 2y) , dA. Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. integral duplaD 1 , dA: Isso representa a área do quadrado.
  2. integral duplaD 2y , dA: Devido à simetria do quadrado em relação ao eixo x, essa integral será zero, já que para cada y positivo há um y negativo que cancela.

Passo 8

Calculando a área do quadrado:
Os vértices são (2,0), (0,2), (-2,0) e (0,-2). A distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo, entre (2,0) e (0,2), é raiz(2-0)^2 + (0-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2. Como o quadrado tem todos os lados iguais, a área é:
Área = (2raiz2)^2 = 8Á

Passo 9

Como vimos, a segunda parte da integral dupla é zero, então:
integral duplaD (1 - 2y) , dA = integral duplaD 1 , dA - integral duplaD 2y , dA = 8 - 0 = 8

Resposta

A integral de linha integralgamma y^2 , dx + x , dy vale 8.

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