Calcule
b)
, sendo
a circunferência
, percorrida no sentido anti-horário.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me mandou! A gente vai calcular a integral
ao longo da circunferência
no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
e uma curva fechada simples
, temos:
Onde
é a região delimitada pela curva
. Nesse caso, nossa circunferência
define a região
, que é o disco de raio 1.
Passo 3
Vamos identificar
e
do campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo essas derivadas:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Como
é o disco de raio 1, é mais fácil calcular isso em coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares,
e o diferencial de área é
.
Então, a integral vira:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa: