Calcule
b) integralY(2 x e^y-x^2 y-y^33) d x+(x^2 e^y+sin y) d y, sendo gamma a circunferência x^2+y^2=1, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me mandou! A gente vai calcular a integral ao longo da circunferência no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial ointgamma M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy e uma curva fechada simples , temos:
Onde é a região delimitada pela curva . Nesse caso, nossa circunferência define a região , que é o disco de raio 1.

Passo 3

Vamos identificar M = 2 x e^y - x^2 y - y^33 e N = x^2 e^y + sin y do campo vetorial:
partial Npartial x = partialpartial x ( x^2 e^y + sin y ) = 2x e^y
partial Mpartial y = partialpartial y ( 2 x e^y - x^2 y - y^33 ) = 2x e^y - x^2 - y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 2x e^y - (2x e^y - x^2 - y^2) = x^2 + y^2
Subtraindo essas derivadas:

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD (x^2 + y^2) , dx , dy
Como integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta é o disco de raio 1, é mais fácil calcular isso em coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares, e o diferencial de área é .
Então, a integral vira:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, a integral externa:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

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